東大理系数学'10年前期[5]
Cを半径1の円周とし、AをC上の1点とする。3点P，Q，RがAを時刻
に出発し、C上を各々一定の速さで、P，Qは反時計回りに、Rは時計回りに、時刻
まで動く。P，Q，Rの速さは、それぞれm，1，2であるとする。(したがって、QはCをちょうど一周する。)ただし、mは
をみたす整数である。△PQRがPRを斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さmと時刻tの組をすべて求めよ。
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解答 回転運動の問題のように見えますが、実質的には整数問題です。総当たりチェックする範囲を絞ることが目標です。以下では、tの可能性を6通りに絞り、その各場合について、
を満たす整数mを探すことになります。
円の中心を原点O，
に沿ってこの方向にx軸，
を反時計回りに
回転した方向にy軸をとり、点Aの座標を
とします。
3点P，Q，Rが円周に沿って移動した距離は、
，t，
で、半径が1なので、この距離はそのまま回転角の大きさとなり、P，Qが反時計回り、Rが時計回りに動くことから、P，Q，Rの時刻tにおける座標は、
円周に内接する△PQRがPRを斜辺とする直角二等辺三角形になるための必要十分条件は、
PRが円の直径であって、かつ、
となることですが、PRが円の直径であるためには、
かつ 
･･･①
は円周角
の
なので、
よって、
(内積を参照)
においては、
より、
(
)
･･･②
①より、
のときには
となり得ないので、両者がともに成り立つためには、
②より、
(
)
∴ 
･･･③
より、
・
のとき、④は、
・
のとき、④は、
・
のとき、④は、
∴ 
このうち、③の右辺分子の
が分母の
で割り切れるのは
のみで、このとき、
また、②より、
・
のとき、④は、
∴ 
このうち、③の右辺分子の
が分母の
で割り切れるのは
のみで、このとき、
また、②より、
・
のとき、④は、
∴ 
このうち、③の右辺分子の
が分母の
で割り切れるのは
のみで、
のとき
，
のとき
また、②より、
・
のとき、④は、
∴ 
このうち、③の右辺分子の
が分母の
で割り切れるのは
のみで、このとき
また、②より、
以上より、
......[答]
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(
) ･･･④
のとき③より、
のとき③より、
)
