東大理系数学'19年前期[5]
以下の問いに答えよ。
(1) nを1以上の整数とする。xについての方程式
は、ただ一つの実数解
をもつことを示せ。 (2) (1)で定まる
に対し、
を示せ。 (3) (1)で定まる数列
，
，･･････，
，･･････に対し、 を求めよ。
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解答 難問です。(1)，(2)もややこしく、(3)の極限を考えるところでは、どうやって
を前面に出すか、と考えることがカギです。
(1) 
は、
より
であり、すべての実数xについて、単調増加です(
になるのは
のみ)。 
において、
は単調減少、
は単調増加、
，
より、方程式
は、
の範囲にただ一つの実数解を持ちます。これを
とします。･･･(＊)以上より、xについての方程式
は、ただ一つの実数解
を持ちます。 注．範囲
だけをとれば、
，
より
は単調増加、
，
，中間値の定理より、
において方程式
はただ1つの実数解を持つ、とするほうがきれいです。
(2) (1)の(＊)より、
です。
において
は単調減少なので、
，つまり、
･･･① ところで、
は方程式
の解なので、 
･･･②また、
と①，②より、
，
は単調増加なので、
･･･③
において
は単調減少であり、
より、
･･･④
(3) ①，④より、
②より、
，即ち、
･･･⑤
ここで、
とすると、
(数列の極限を参照)より、
⑤において、はさみうちの原理より、
......[答] ･･･⑥
②に
をかけて、
，よって、
･･･⑦
より、
......[答]⑦より、
･･･⑧
⑧の形から、平均値の定理の利用を考えます。
とおくと、⑧は、
となります。 
･･･⑨③より
ですが、平均値の定理より、 
，
･･･⑩を満たす実数cが存在します。
において、 よって、
は
において単調増加で、
より、
です。⑩より、 ここで、
とすると、
，はさみうちの原理より、 ⑨より、
∴ 
......[答] 注．
で、
をxに置き換えて、
とすれば、
は微分係数
のことなので、この結果は当然です。
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，
，
より、
であり、
において
です。
において、
なので、
において、
，
なので、
において、
，
より、
