東大理系数学'19年前期[5]

以下の問いに答えよ。
(1) n1以上の整数とする。xについての方程式は、ただ一つの実数解をもつことを示せ。
(2) (1)で定まるに対し、を示せ。
(3) (1)で定まる数列,・・・・・・,,・・・・・・に対し、
を求めよ。


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解答 難問です。(1)(2)もややこしく、(3)の極限を考えるところでは、どうやってを前面に出すか、と考えることがカギです。

(1) は、よりであり、すべての実数xについて、単調増加です(になるのはのみ)
より、であり、においてです。
において、なので、
において、なので、
において、は単調減少、は単調増加、より、方程式は、の範囲にただ一つの実数解を持ちます。これをとします。・・・()
において、より、
以上より、xについての方程式は、ただ一つの実数解を持ちます。
注.範囲だけをとれば、よりは単調増加、中間値の定理より、において方程式はただ1つの実数解を持つ、とするほうがきれいです。

(2) (1)()より、です。においては単調減少なので、,つまり、 ・・・@
ところで、は方程式の解なので、
 ・・・A
また、と@,Aより、は単調増加なので、 ・・・B
においては単調減少であり、より、 ・・・C

(3) @,Cより、
Aより、,即ち、 ・・・D
ここで、とすると、
(数列の極限を参照)より、
Dにおいて、
はさみうちの原理より、 ......[] ・・・E
Aにをかけて、,よって、 ・・・F
より、
......[]
Fより、 ・・・G
Gの形から、
平均値の定理の利用を考えます。
とおくと、Gは、となります。
 ・・・H
Bよりですが、平均値の定理より、
 ・・・I
を満たす実数cが存在します。において、

よって、において単調増加で、より、です。Iより、
ここで、とすると、,はさみうちの原理より、
Hより、
......[]
注.で、xに置き換えて、とすれば、微分係数のことなので、この結果は当然です。



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