東大理系数学'23年前期[4]
座標空間内の4点O
，A
，B
，C
を考える。
(2) 点Pから直線ABに垂線を下ろし、その垂線と直線ABの交点をHとする。
を
と
を用いて表せ。 (3) 点Qを
により定め、Qを中心とする半径rの球面Sを考える。Sが三角形OHBと共有点を持つようなrの範囲を求めよ。ただし、三角形OHBは3点O，H，Bを含む平面内にあり、周とその内部からなるものとする。
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解答 (3)は、(1)で何をやっていたのか、ということに気づけないとお手上げになります。
(1) 
とおきます。
より(内積を参照)、 
∴ 
より、
より、
①より、
，これを代入して、
∴ 
，
よって、P
......[答]
(2) Hは直線AB上の点なのでpを実数として、
･･･② とおけます(共線条件を参照)。 (1)の結果を用いて、
より、
∴ 
②より、
......[答] ･･･③
(3) 球面Sが三角形OHBと共有点を持つような半径rの範囲というのは、三角形OHB上の点Rと球面Sの中心Qとの距離
の範囲のことです。まず、素直に考えてみます。 Rは平面OHB上の点なので、s，tを実数として、
(ベクトルの1次独立を参照)とおき、③，
を用いて、 
(∵ 
)
･･･⑤Sは平面OAB上の点で、
と平面OABは垂直なので、
，よって⑤より、 
･･･⑥(1)の結果より
，
より、 
(∵ 
)
･･･⑦よってSは、OAを3：1に内分する点です。このとき、
です。また、Qと平面OAB上の点との距離が最小になる平面OAB上の点がSなので、
であり、平面OAB上のS以外の点Rに対し、
は直角です。三平方の定理より、 これより、
が最大、最小のとき、
が最大、最小です。
③より、HはABを2：1に内分する点(ベクトルの内分・外分を参照)であり、右図より、
を最小にする三角形OHB内の点は、Sから線分OHに垂線STを下ろすときのTです。
なので、ST // ABであり、OT：TH = OS：SA = 3：1 
･･･⑧より、
よって、
の最小値は、 
･･･⑨
を最大にする三角形OHB内の点は、頂点O，H，Bのどれかです。⑧を用いて、
･･･⑩⑨，⑩より、球面Sが三角形OHBと共有点を持つような半径rの範囲は、
......[答]
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，
，
を満たす点Pの座標を求めよ。
より、
･･･①
より、
，
，
，
を代入すると、
･･･④
，つまり、
，
のときに、
が最小値2をとることがわかります(2次関数の最大最小を参照)。ですが、Rは三角形OBHの内部または周上の点なので、s，t には、
，
，
(平面ベクトルの応用を参照)という条件がつきます。残念ながら、
，
は、この条件を満たさず、このとき、Rは三角形OBHの外部の点になってしまいます。2変数2次式④から
の最大最小を求めるのは無理です。ここで暗礁に乗り上げます。
上記で、Qと平面OBH上の点Rとの距離が最小になるとき、Rは三角形OBHの外部に来てしまう、ということは、図形的に捉えると、三角形OBHの内部または周上の点で、Qとの距離が最小になるものは三角形OBHの周上のどこかの点、最大となるものは三角形OBHの頂点のどれかになるはずです(右図)。
が最小になるとき、点Rは、Qから平面OBHに下ろした垂線の足Sに来ます。つまり、
最小を与える
は平面OBHと垂直であり、Hは線分AB上の点なので、
は平面OABとも垂直であり、
と
双方に垂直です(
も
と
双方に垂直)。これで(1)の意味が見えてきます。(1)は、
が
に平行だ、というヒントだったのです。
//
なので、nを実数として、
とおけます。このとき、
∴ 
，⑤より、
，
より、
の最大値は、
の最大値は、