東大理系数学'23年前期[4]

座標空間内の4OABCを考える。

(1) を満たす点Pの座標を求めよ。
(2) Pから直線ABに垂線を下ろし、その垂線と直線ABの交点をHとする。を用いて表せ。
(3) Qにより定め、Qを中心とする半径rの球面Sを考える。Sが三角形OHBと共有点を持つようなrの範囲を求めよ。ただし、三角形OHB3OHBを含む平面内にあり、周とその内部からなるものとする。


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解答 (3)は、(1)で何をやっていたのか、ということに気づけないとお手上げになります。

(1) とおきます。より(内積を参照)
 ∴
より、
より、 ・・・@
より、
より、
@より、,これを代入して、 ∴

よって、
P ......[]

(2) Hは直線AB上の点なのでpを実数として、 ・・・A とおけます(共線条件を参照)
(1)の結果を用いて、

より、
 ∴
Aより、 ......[] ・・・B

(3) 球面Sが三角形OHBと共有点を持つような半径rの範囲というのは、三角形OHB上の点Rと球面Sの中心Qとの距離の範囲のことです。まず、素直に考えてみます。
Rは平面OHB上の点なので、stを実数として、 (ベクトルの1次独立を参照)とおき、B,を用いて、

 ( )
として、を代入すると、



 ・・・C
という2変数の2次式が得られます。この2変数2次式により、,つまり、のときに、が最小値2をとることがわかります(2次関数の最大最小を参照)。ですが、Rは三角形OBHの内部または周上の点なので、st には、 (平面ベクトルの応用を参照)という条件がつきます。残念ながら、は、この条件を満たさず、このとき、Rは三角形OBHの外部の点になってしまいます。2変数2次式Cからの最大最小を求めるのは無理です。ここで暗礁に乗り上げます。

上記で、
Q平面OBH上の点Rとの距離が最小になるとき、R三角形OBHの外部に来てしまう、ということは、図形的に捉えると、三角形OBHの内部または周上の点で、Qとの距離が最小になるものは三角形OBHの周上のどこかの点、最大となるものは三角形OBHの頂点のどれかになるはずです(右図)
ここで整理しておきます。平面
OBH上の点RQとの距離が最小になるとき、点Rは、Qから平面OBHに下ろした垂線の足Sに来ます。つまり、最小を与えるは平面OBHと垂直であり、Hは線分AB上の点なので、は平面OABとも垂直であり、双方に垂直です(双方に垂直)。これで(1)の意味が見えてきます。(1)は、に平行だ、というヒントだったのです。

Qと平面OBH,つまり平面OAB上の点Rとの距離の最小値を与える平面OAB上の点Sをまず求めます。//なので、nを実数として、とおけます。このとき、
 ・・・D
Sは平面OAB上の点で、と平面OABは垂直なので、,よってDより、
 ・・・E
(1)の結果よりより、
 ( )
Eより、 ∴ ,Dより、
 ・・・F
よってSは、OA31に内分する点です。このとき、

です。また、Qと平面OAB上の点との距離が最小になる平面OAB上の点がSなので、であり、平面OAB上のS以外の点Rに対し、は直角です。三平方の定理より、
これより、が最大、最小のとき、が最大、最小です。

Bより、
HAB21に内分する点(ベクトルの内分・外分を参照)であり、右図より、を最小にする三角形OHB内の点は、Sから線分OHに垂線STを下ろすときのTです。なので、ST // ABであり、OTTH = OSSA = 31
 ・・・G
より、
よって、の最小値は、
 ・・・H
を最大にする三角形OHB内の点は、頂点OHBのどれかです。Gを用いて、



より、の最大値は、
の最大値は、
 ・・・I
H,Iより、球面Sが三角形OHBと共有点を持つような半径rの範囲は、
......[]



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