(1) ，，を満たす点Pの座標を求めよ。

(2) 点Pから直線ABに垂線を下ろし、その垂線と直線ABの交点をHとする。をとを用いて表せ。

(3) 点Qをにより定め、Qを中心とする半径rの球面Sを考える。Sが三角形OHBと共有点を持つようなrの範囲を求めよ。ただし、三角形OHBは3点O，H，Bを含む平面内にあり、周とその内部からなるものとする。

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(1) とおきます。より、

　∴

より、　･･･�@

より、
�@より、，これを代入して、　∴ ，
よって、P ......[答]

(2) Hは直線AB上の点なのでpを実数として、　･･･�@　とおけます。

より、

　∴

�@より、 ......[答]　･･･�A

，

として、を調べるのでは破綻します。s，tの複2次式では、s，tが任意の実数をとるときの最小値は求められますが、s，tに制限がつくときの最大最小を求めるのは無理です。

とおいて、，�Aを用いて、

　(∵ )

として、，，，を代入すると、

　･･･�B

という複2次式が得られます。この複2次式により、，つまり、，のときに、が最小値2をとることがわかります。ですが、Rは三角形OBHの内部または周上の点なので、とおいたときに、，，という条件がつきます。，は、この条件を満たさず、三角形OBHの外部の点になってしまいます。
，，という条件がついてしまうと、複2次式�Bの最大最小を求めるのは無理です。
ここで暗礁に乗り上げます。

上記で、Qと平面OBH上の点Rとの距離が最小になるとき、Rは三角形OBHの外部に来てしまうことがわかります。ということは、図形的に捉えると、三角形OBHの内部または周上の点で、Qとの距離が最小になるものは三角形OBHの周上の点、最大となるものは三角形OBHの頂点のどれかになるはずです。
まず、Qとの距離が最小になるとき、平面OBH上の点Rは、Qから平面OBHに下ろした垂線の足に来ます。Hは直線AB上の点なので、平面OBHを作るベクトルをと，と考えるのではなく、平面OBHと平面OABは同じものなので、平面OABを作ると，と考えます。
つまり、最小を与えるは、と双方に垂直です。これで(1)の意味が見えてきます。(1)は、がに平行だ、というヒントだったのです。

Qと平面OBH，つまり平面OABとの距離の最小値を与える平面OAB上の点Rをまず求めます。//なので、nを実数として、とおけます。このとき、

　･･･�C

は、に垂直なので、

　･･･�D

(1)の結果と、，より、

　(∵ )

�Dより、　∴ ，，�Dより、

ということは、Qから平面OABに垂線を下ろすと、垂線の足は、OAを3：1に内分する点になります(＊)。�Aより、HはABを2：1に内分する点なので、三角形OBHの内部または周上の点でQとの距離が最小になる点は、辺OH上にきます。辺OH上の点Rは、t をを満たす実数として、で与えられます。

より、QとRの距離の2乗は、，，，より、

　(∵ )

よって、のときは最小値をとります。よって、Sが三角形OHBと共有点を持つSの半径rは、　･･･�E
また、上記の(＊)より、Qとの三角形OBHの内部または周上の点でQとの距離が最大になる点は、頂点O，B，Hのいずれかになります。

より、距離の2乗の最大値はで、Sが三角形OHBと共有点を持つSの半径rは、　･･･�F
�E，�Fより、 ......[答]

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