東大理系数学'24年前期[3]
座標平面上を次の規則(i)，(ii)に従って1秒ごとに動く点Pを考える。
(i) 最初に、Pは点にいる。
(ii) ある時刻でPが点にいるとき、その1秒後にはPは
・確率でx軸に関してと対称な点
・確率でy軸に関してと対称な点
・確率で直線に関してと対称な点
・確率で直線に関してと対称な点
にいる。
以下の問いに答えよ。ただし、(1)については、結論のみを書けばよい。
(1) Pがとりうる点の座標をすべて求めよ。
(2) nを正の整数とする。最初からn秒後にPが点にいる確率と、最初からn秒後にPがにいる確率は等しいことを示せ。
(3) nを正の整数とする。最初からn秒後にPが点にいる確率を求めよ。


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解答　ヒントがあるので、何とかなります。だけ注意が必要です。

(1) A，B，C，D，E，F，G，Hとすると、AとBはx軸に関して対称、AとCはy軸に関して対称、AとDはに関して対称、AとEはに関して対称、BとFはy軸に関して対称、BとGはに関して対称、BとHはに関して対称です(座標平面における対称を参照)。元の点に対して、各対称移動で行先の点を表にまとめると、
移動＼点 A B C D E F G H
x軸に関する対称移動BAFHGCED
y軸に関する対称移動CFAGHBDE
直線に関する対称移動DGHAFEBC
直線に関する対称移動EHGFADCB

従って、表より、問題文の対称移動によって、A，B，C，D，E，F，G，H以外の点に行くことはありません。
，，，，，，， ......[答]

(2) n秒後にA，B，C，D，E，F，G，Hにいる確率を，，，，，，，とします。秒後にAに来るのは、n秒後()に、
Bにいて(確率)、x軸に関する対称移動(確率)で、
Cにいて(確率)、y軸に関する対称移動(確率)で、
Dにいて(確率)、直線に関する対称移動(確率)で、
Eにいて(確率)、直線に関する対称移動(確率)で、
Aにくる場合です。その確率は、
　･･･①
秒後にFに来るのは、C→F(確率)，B→F(確率)，E→F(確率)，D→F(確率)の場合で、その確率は、
　･･･②
①，②より、 ()
従って、nを正整数として，即ち、最初からn秒後にPが点にいる確率と、最初からn秒後にPがにいる確率は等しくなります。
注．，なので、の場合は、です。また、なので、です。

(3) ①，②と同様にして、(1)の表より、として、

よって、nを正整数として，BとCについては、なので、についてです。

よって、nを正整数として，DとEについては、なので、についてです。

よって、nを正整数として，GとHについては、なので、についてです。
nを正の整数として、，，，
これを用いて、上記漸化式を書き換えると、nを正の整数として、
　･･･③
　･･･④
　･･･⑤
　･･･⑥
(，)なので、規則(ii)より、，です。また、なので、です。
ここで、先の方を調べておくと、
，，
，，，
，，
となっていて、規則性があるのがわかります。これを見ると、とを組み合わせるとよさそうです。の係数、の係数が③と⑥で入れ替わっているので、連立漸化式の定石に従って、③＋⑥と③－⑥を考えます。
③＋⑥より、
　･･･⑦
④＋⑤より、
　･･･⑧
⑦でとすると、⑧より、
nを正の奇数として、
　･･･⑨
nを正の偶数として、
　･･･⑩
③－⑥より、
　･･･⑪
④－⑤より、
　･･･⑫
⑪でとすると、⑫より、
nを正の奇数として、
　･･･⑬
nを正の偶数として、
　･･･⑭
nが正の奇数のとき、⑨，⑬より、
nが正の偶数のとき、⑩＋⑭より、
のときです。
以上より、最初からn秒後にPが点Aにいる確率は、
nが正の奇数のとき0，nが正の偶数のとき ......[答]



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