早大理工数学'12年[5]
xy平面上に2点A
，B
をとる。
をみたす平面上の点Pの全体と点A，Bからなる図形をFとする。次の問いに答えよ。
(1) Fを図示せよ。
(2) Fをx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ。
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解答 (1)の結果は見えているので、論証することがテーマです。
(1) 
のとき、点Pの全体は線分ABです。 
として、
のとき、円周角の定理より、点Pの全体は円の一部です。円をCとします。まず、点Pが
の部分にある場合を考えます。
この円の半径をr，円の中心をDとすると、対称性からDはy軸上の点(
のときには
の部分にあり、
のときには原点O，
のときには
の部分にあります)です。
右図より、
，
，Dのy座標は
(正負は
の正負と一致します)円Cの方程式は、円Cは、2点A，Bを通るので、
のとき、当然、
です。
のとき、 
(
)の場合を除いて、
，
の場合も含めて
より、
以上より、
のとき、
∴ 
，点Pの全体は、
を中心とする半径
の円から内側です。
点Pが
の部分にある場合、上記で、円Cの半径は
のままですが、中心のy座標が
となり、円Cの方程式は、
のとき、
より、
∴ 
，点Pの全体は、
を中心とする半径
の円から内側です。
以上より、Fを図示する(不等式の表す領域を参照)と右図黄緑色着色部(境界線を含む)。注．結論は見えているので、上記で
のときの円だけを考え、
のときの点Pはその円の内側に来ることを示す、という方針も考えられます。
(2) Fはx軸に関して対称な図形です。Fをx軸のまわりに1回転して得られる立体は、Fの境界線
をx軸のまわりに1回転して得られる立体で、yについて解くと、 となることから、求める体積Vは、
の
，
の部分をx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積から、
の
，
の部分をx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を除いて2倍したものです(x軸のまわりの回転体を参照)。
(1)の別解．
をみたすxy平面上の点Pの座標を
とします。 
(∵ 
)これより、
ここで、
を、素直に展開してしまうと、
･･･①ここで行き詰まってしまいます。
結論は見えているので、結論の方から考えます。点PがFの境界線となりそうな
のとき、円周角の定理から、点Pの全体は円の一部となります。この円は、2点A，Bを通るので、その半径は
，中心は、点Pがx軸から上にあるときには
，点Pがx軸から下にあるときには
で、円の方程式は、 となり、①の左辺を因数分解すると、
という形が出てくることが予想できます。これを展開してみると、
となって、①の左辺に一致します。
従って、①より、
よって、
”
かつ 
” または、
”
かつ 
” これより、図形Fは、
(円
から内側)または
または、
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，
かつ 
” (円
から内側、かつ、円
から外側)
かつ 
” (円
から外側、かつ、円
から内側) 
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