早大理工数学'26年[3]
座標空間内に点A
，B
，および実数aを用いて表される点P
をとる。さらに、2点
，
を通る直線を
として、3点A，B，Pが定める平面と直線
との交点をQとする。
(1) 点Qの座標をaを用いて表せ。
(2) 4点A，B，P，Qが四角形APBQを成し、線分ABと線分PQが交わるためのaの条件を求めよ。
(3) aが(2)の条件を満たすとき、四角形ABPQの面積をaを用いて表せ。
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解答 空間ベクトルの問題ですが、(2)，(3)は平面図形の問題として解答できます。
3点A，B，Pが定める平面を平面αとします。u，vを実数とし、
，
･･･①
を(平面のベクトル方程式を参照)、
･･･②
2点
，
を通る直線
上の点
を、t を実数とし、方向ベクトル
を用いて(直線のベクトル方程式を参照)、
･･･③
(1) 平面αと直線
の交点Qは、②＝③として、 ⑤＋⑥より、
∴ 
これと⑥を④に代入し、
∴ 
⑥より、
⑤より、
よって、Qの座標は、
......[答]
Aはz軸上の定点、Pはx軸上の点、Bはx軸上にもz軸上にも存在しない定点ので、3点A，B，Pが一直線上に並ぶことはなく、
と
は1次独立です。
Qは平面α上の点で、これ以降は、平面α上の平面図形の問題になり
と
を用いて考えていきます。②より、
･･･⑦
(2) ⑦で
とすると、
となり、直線BP上でBに対してBPと同じ長さだけPと逆側の点を
(
)として、Qは
に来ます。このときは、B，P，Qが一直線上に並ぶので四角形APBQはできません。
のとき、
と⑦を用いると、
･･･⑧となるので、
//
です。つまり、Qは、
を通り直線BAに平行な直線上の点です。この直線と直線PAの交点を
とすると、BA//
なので中点連結定理(
)より、Aは
の中点で、
です。また、
です。⑧のQを
と考えると、
∴ 
このときも、A，P，Qが一直線上に並ぶので四角形APBQはできません。
右図より、Qが線分
上にあれば、線分ABと線分PQが交わります。Qが線分
上にあるとき、
として、
です。⑧より、 よって、
より、
∴ 
のときは四角形APBQができず、
であれば四角形APBQができるので、求めるaの条件は、
......[答]
(3) △ABPと△ABQにおいて、中点連結定理より、高さは等しく、底辺はともにABなので、△ABPの面積と△ABQの面積は等しく、四角形APBQの面積は、△ABPの面積の2倍です。△ABPの面積Sは、 ①より、
∴ 
四角形APBQの面積はこの2倍で、
......[答]
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･･･④
･･･⑤
･･･⑥
