エントロピー
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基準となる熱平衡状態Cから熱平衡状態Aまで連続的準静的に変化(可逆変化)するとき(不可逆変化を参照)、変化の過程で温度Tの熱源から熱
を吸収するとして、
･･･①
を状態Aにおけるエントロピーと言います。エントロピーは内部エネルギーのように各状態ごとに定まる量です。熱平衡状態Aから熱平衡状態Bまで連続的準静的に変化(可逆変化)するときのエントロピーの変化
は、AからBまでの変化の過程によらず、
(
)
となります。温度Tにおけるエントロピーの微小変化分
については、
･･･②
nモルの理想気体が熱Qを吸収し内部エネルギーを
だけ変化させて外部に仕事Wをするとき、熱力学第一法則より、
となりますが、変化の過程における気体の圧力をp，体積をVとして、微小変化分
について、
(
，気体のした仕事を参照)，
(
，内部エネルギーを参照)より、
･･･③
，体積
)から熱平衡状態A (温度
，体積
)まで積分すると、Aにおける理想気体のエントロピー
は、気体定数をRとして、状態方程式
より、
とおいて、温度T，体積Vの状態でのnモルの理想気体のエントロピーSは、
(
：定数) ･･･④
比熱比
(断熱変化を参照)を用いると、
となるので、④は、
となります。準静的な断熱変化A→Bでは、変化の過程で気体は熱を吸収しないので、エントロピーの変化は、
です。S一定となるので、
，つまり、
となり、ポアッソンの関係式が得られます。
nモルの気体が、体積
，温度T，エントロピー
の状態から体積
，温度T，
の状態まで変化するときのエントロピーの変化
は、④より、
のときには
，
のときには
です。この変化が等温変化の場合には変化の過程は準静的で可逆変化なので、A→B→Aと変化すると、
より、エントロピーの変化はゼロです。ですが、この変化が自由膨張(真空への膨張、気体のした仕事を参照)の場合(
)には不可逆変化で、A→Bにおいて
となります。
その他、ピストンとシリンダーの間に摩擦があって熱を発生する場合なども含めて、不可逆変化では、エントロピーは増大します。これをエントロピー増大の法則と言います。準静的過程は理想的な過程であって、現実的にはすべての過程が不可逆変化で、この宇宙は、エントロピーが増大する方向に一方的に変化し続けていると言うことができます。
④は、単原子分子理想気体の場合、
と、
(
：アボガドロ数、N：気体の分子数、k：ボルツマン定数)より、
･･･⑤
(ここに、
)
は、
となるので、
この式の
は定数なので、⑤のSをkで割ったものとの差は定数です。これより、単原子分子理想気体の場合、エントロピーは分配関数Zを用いて、
と表すことができます。この結果は、統計力学の様々なモデルで成立し、ボルツマンの原理と呼ばれています。
区別できないN個の粒子からなるcanonical ensemble(正準集団)においては、J個のセルのうちのエネルギー
の j番目(
)のセルに
個のセルが入る確率
は、
として、
ここで、全確率：
となっています。
全エネルギー、つまり内部エネルギーをUとして、粒子1個のエネルギーの期待値
は、
ここで、分配関数Zはこの分母で、
をβ で微分すると、
よって、
より、内部エネルギーは、
で与えられます。
より
，
より、
･･･⑥
⑥より、
，よって、
また、
より、
，これを用いて、
ここで、
(導出は省略します)を用いて、
∴ 
∴ 
，
，
を用いて、エントロピーは、
より、エントロピーを
と書くことができます。
コンピューターの内部では'0'と'1'の2つの数を用いて情報を表します。
1個の変数
が0か1という数値を同様に確からしく取り得るとします。
となる確率
，
となる確率
は、それぞれ、
です。このとき、
という量を考えます。
2個の変数
，
がそれぞれ数値0，1を同様に確からしく取り得るとします。
，
の取り得る状態を2つ数字を並べて書くと、00，01，10，11の4通りあります。それぞれの確率を
，
，
，
とすると、
です。このとき、
は、
変数3個
，
，
の場合は、
，
，
の取り得る状態を3つの数字を並べて書くと、000，001，010，011，100，101，110，111の8通りあります。それぞれの確率を
～
とすると、
で、
は、
同様に変数4個の場合は、0000，0001，～，1111の16通りの確率は、それぞれ、
変数8個の場合は、00000000，00000001，～，11111111の256通りの確率は、それぞれ、
変数n個の場合は、
通りのそれぞれの確率は、
Hは情報量を表しており、情報理論でエントロピーと言います。熱力学、統計力学のエントロピーと対応しています。上記の例では変数の数に一致していることがわかります。この変数の数をビットと言います。8ビットで1バイトと言います。1Kバイトは
，
，
，
より、 
のハード・ディスク・ドライブは、
通り(
より、10進法で280兆ビット、2バイト1文字として
，つまり43億文字、本1000冊分)の情報を扱えます。
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