長崎大物理'10年[3]

長崎大物理'10年[3]

図のように円筒容器が水平に置かれている。この円筒容器の壁は断熱されており、中は断熱性の仕切り板(断面積S)と円筒容器の外部との熱の出入りが自由なピストン(断面積S)によって2つの部分に区切られている。これらの仕切り板とピストンは左右になめらかに動く。左側には単原子分子の理想気体Aが封入されており、熱が加えられるようにヒーターが取り付けられている。また右側には単原子分子の理想気体Bが封入されている。初期状態では、気体A、気体Bの圧力は

，温度は

であり、どちらの気体も円筒容器の外部の圧力および温度と等しかった。また、円筒容器の左側から仕切り板までの距離と仕切り板からピストンまでの距離はともに

であった。ただし、仕切り板の厚さは無視できるものとする。

過程a

初期状態において、ヒーターで気体Aに熱を加えると、仕切り板とピストンはゆっくり右側に移動した。そして、しばらくして熱を加えるのをやめると、仕切り板とピストンは停止した。このときの気体Aの温度は

であった。

(あ) 気体Aの内部エネルギーの変化量

を

，

，Sを用いて表せ。

(い) ピストンが停止したときの気体Aの体積

を

，

，Sを用いて表せ。

(う) 気体Aに加えられた熱量Qを

，

，Sを用いて表せ。

過程b

初期状態において、ピストンを動かないように固定してヒーターで気体Aに熱を加えると仕切り板は停止した。このときの気体Aの温度は

であった。

(え) 仕切り板が停止したときの気体Aの圧力

を

を用いて表し、また、仕切り板が移動した距離

を

を用いて表せ。

(お) 気体Bが周囲から加えられた仕事をWとして、気体Aと気体Bが吸収または放出した熱量

と

をそれぞれ

，S，

，Wのうち必要なものを用いて表せ。ただし、吸収の場合を正、放出の場合を負とする。

(か) 過程bにおける気体Bの圧力と体積の関係についてグラフを描き、さらに気体Bが周囲から加えられた仕事Wに相当する面積を斜線によって示せ。

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解答　本問のような気体の基本問題では、状態方程式と熱力学第一法則を素直に適用することを考えましょう。また、ピストンや仕切り板に対して働く力のつり合いを見落とさないようにしてください。

初期状態では、気体A，気体Bは、同一状態で同一体積のため、ボイル･シャルルの法則によりモル数は等しくnだったとします。ピストンに働く力のつり合いより、気体Bの圧力は外部の圧力に等しく、外部の圧力は

です。また、気体定数をRとします。

過程a

初期状態の気体A、気体Bの体積は

で、状態方程式は、

　･･･①

加熱中、また、加熱後にピストン、仕切り板が停止したときにも、ピストン、仕切り板に働く力のつり合いが成立するので、気体A，気体Bの圧力はともに

のまま一定で、過程aにおいて、気体A、気体Bは定圧変化をします。
こうした問題では、仕切り板、ピストンを動かし始める力、停止させる力は無視できるほど小さく、また、仕切り板、ピストンは、無視できるほど小さな速さで等速度運動(従って、力のつり合いがつねに成立している)と考えます。こうした過程は、つねに熱平衡が保たれていて準静的過程と言います。
加熱後、ピストン、仕切り板が停止したときの気体Aの体積を