京大物理'06年前期[1]

京大物理'06年前期[1]

次の文を読んで、　　に適した式または数値をそれぞれの解答欄に記入せよ。

　図1のように、質量mの粒子が、速さvで、半径rの球殻内面と弾性衝突を繰り返している。球殻との衝突角度をθ (ラジアン)とする。
1つの粒子が1回の衝突で球殻に与える力積は　ア　である。これを球殻に衝突してから次の衝突するまでの時間(飛行時間)で割ることにより、単位時間当たりの力積の総和　イ　が与えられる。速さvのN個の粒子が互いに衝突することなく、球殻内面の様々な場所で衝突を繰り返しているとする。球殻が平均的に受ける圧力Pは、単位時間当たりの力積を球殻の表面積で割った量で与えられる。すなわち、

×　ウ　　　　(1)

となる。

　さて、この球殻の半径をゆっくりと縮めていく過程を考えよう(図2)。半径が縮む速さwは粒子の速さvに比べて十分小さいものとする。
粒子が速さ

，角度θ で、速さwで近づいてくる壁(球殻)に衝突した。この衝突によって、粒子の速さはvへと増加し、反射角度は

へと減少した。壁に垂直な方向の運動については、速さwで移動する壁を中心に完全反射するので

－　エ　　　　(2)

が成り立つ。壁に平行な方向の運動については、運動量が保存されるので

　　　(3)

が成り立つ。小さいδ に対して

，および

の関係が成り立つとして関係式(2)と(3)を解くと、1回の衝突による速度の増加分uは(w，θ を用いて)　オ　，角度の減少分δ は(w，v，θ を用いて)　カ　で与えられる。
さて、時刻0 (ゼロ)で角度

で反射した粒子が次に球殻に衝突する時刻tには、球殻の半径は

に縮小している。この半径の縮小に伴い、衝突角度は

からε だけ増加したとする。図2からわかるように

　　　(4)

の関係が成り立つ。この間の飛行時間を

と近似すれば、この飛行時間によって生じる衝突角度の増加分ε は(w，v，θ，δ を用いて)　キ　と表される。このε は、半径が縮む速さwが十分小さい極限ではδ と等しい。つまり、球殻半径をゆっくりと縮小させる過程では、1回の衝突によって生じた角度の減少分δ は飛行時間によって生じた角度の増加分ε によって相殺され、衝突角度は常に一定に保たれる。
一方、粒子の速さは衝突のたびに増加する。衝突1回当たりに速さが増える率と半径が縮小する率の積は(w，v，θ，δ を用いて)

＝　ク　　　　(5)

で与えられる。この量は衝突角度θ に比べてその変動δ が小さい極限で1となる。したがって、粒子の速さvは、球殻の半径rに反比例して変化する。
球殻の受ける圧力は、単位時間当たりの力積を球殻の表面積で割った量で与えられるが、それは式(1)で見たように、粒子の速さvの2乗に比例し、半径rの3乗に反比例する。上で調べたように、球殻半径をゆっくり変化させる場合には、粒子の速さが半径に反比例するので、圧力Pは体積の　ケ　乗に比例して変化する。

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解答　球殻に閉じ込められた気体を題材として、断熱変化における「ポアッソンの関係式：