京大物理'13年[1]

京大物理'13年[1]

次の文章を読んで、　　に適した式を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、　　はすでに　　で与えられたものと同じ式を表す。また、問1，問2では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。

以下の設問では、地球は半径Rの球であり、密度は一様に分布していると考えてよい。また、地球の質量をM，万有引力定数をGとし、地球の自転の影響、摩擦、および空気の抵抗は無いものとする。

(1) 図1のように、地球の中心Oを通って直線状に掘られたトンネルを考える。トンネルは十分に細く、トンネルを掘ったことによる質量の変化は無視できるものとする。トンネル内の任意の1点P (

)で質量mの質点に働く重力は、Oを中心とした半径rの球の質量が中心Oに集まったとして、それと質点との間の万有引力に等しく、半径rの球の外側の部分は、この点での重力には無関係であることが知られている。したがって、トンネル内の1点Pにおいて質点に働く重力の大きさは、m，M，R，r，Gを使って　ア　と表すことができる。この力による質点の運動は単振動であり、その周期は　イ　で与えられる。

(2) 次に、図2のように、トンネルを通る直線に沿って、地表からの高さがhの点に質量μの質点Aを静かに置き、静止した状態からトンネルに落下させ、中心Oに静止している質量mの質点Bに衝突させる。質点Aがトンネルに入る瞬間の速さは　ウ　で、中心Oに到達する直前の速さは　エ　である。衝突は弾性衝突であるとすると、衝突直後の質点Aの速さは　オ　，質点Bの速さは　カ　となる。衝突後、質点Bは反対側の地表に達した。

問1　

とした場合に、この後質点Bが無限の遠方に飛び去るために必要な

の値の範囲を求めよ。導出の過程もあわせて示せ。

(3) 今度は、図3のように、地球の中心Oから

だけ離れたところを通る直線状の細いトンネルを掘った。中心Oからの距離がrで、トンネルの中心

からxだけ離れたトンネル内のP点にある質量mの質点に働く重力の大きさは　ア　なので、その質点に働くトンネルに沿った方向の力の大きさは、m，M，R，x，Gを使って　キ　で与えられる。したがって、地表で静止した状態からトンネルを通って反対側の地表に出るまでにかかる時間は　ク　である。

(4) 次に、図4のように、質量μの質点Aをトンネルの端点に静かに置き、静止した状態からトンネルに落とし、トンネルの中心

に静止している質量mの質点Bに衝突させた。衝突は弾性衝突であるとすると、質点Bが反対側の地表に達するための条件は

　ケ　で与えられる。また、質点Bが地表から飛び出した後、再び地表にもどってくるための条件は

　コ　となる。

問2　地表から飛び出した瞬間の質点Bの運動エネルギーが、そのときの位置エネルギーの大きさ

の半分である場合を考える。地表を飛び出した後の質点Bの運動では、面積速度が一定となる。質点Bが地球から最も離れた地点に達したときの中心Oからの距離を求めよ。導出の過程もあわせて示せ。
なお、図5のように質点が地球の中心Oから距離rの位置を速さvで運動している場合、その面積速度は

で与えられる。ただし、θ は地球の中心から軌道上の質点に向かう方向と速度のなす角度である。

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解答　数学の試験問題の簡単さに比べて、物理の複雑さは何なのか、と、言いたくなりますが、物理は質的にも量的にもボリューム満点で時間内にやりきるのは困難でしょう。
本問は、地表から外部と内部とで位置エネルギーの考え方を変える必要があるところがポイントになっています。(2)(エ)、(3)(ケ)で悩みますが、(1)でトンネル内で質点が単振動することを手がかりとして考えましょう。

(1) 半径rの球の体積は