京大物理'23年前期[2]

(1) 真空中に置かれた正の電気量Qの点電荷から出る電気力線の本数を考える。点電荷を中心とする球面を考えると、その球面を貫く単位面積あたりの電気力線の本数(電気力線の密度)は、電場の強さと等しくなるように定められている。このことから、点電荷から出る電気力線の本数は　イ　である。

(2) 真空中にある半径aの導体球Aに正の電気量Qを与えると、電荷は{ロ：①球内全体に，②球の表面に}一様に分布する。球の中心Oから距離rの球面を貫く電気力線の本数は

では　イ　で、電気量Qの点電荷を中心Oに置いたときと同じである。そのため、電場の強さと電位は、点電荷の場合と変わらない。一方、

では電場の強さは　ハ　で、電位は　ニ　となる。ただし、無限遠を電位の基準(電位＝0)とする。

(3) (2)の状態にある導体球Aを、図1の断面図のように、電荷が与えられていない中空の導体球B(内半径b，厚さd)で囲む。ただし、導体球Aと中空導体球Bは同一の点Oを中心とする。中空導体球Bを、導体球Aがつくる電場の中に置いたので、中空導体球Bには静電誘導によって正電荷と負電荷の分布の偏りが生じた。その結果、

では、電場の強さが(2)の状態から変化したが、それ以外の領域では囲む前と同じであった。そのため、

では、電位は無限遠を基準として(2)の状態と変わらない。また、導体球Aと中空導体球Bに挟まれた領域(

)においても、(2)の状態から電場が変化していないので、この領域内の2点間では、電位差も変化しない。よって、中空導体球Bの内側表面(

)と導体球Aの表面(

)との電位差(

)は　ホ　と求められる。

(4) (3)の状態から中空導体球を接地したところ、電気量　ヘ　が地表に流れた。接地により中空導体球の電位は0になり、導体球Aの電位は　ト　になった。この状態の電荷分布の様子から、導体球Aと中空導体球Bの組み合わせは、Qの電気量を蓄えたコンデンサーとみなすことができる。このコンデンサーの電気容量は　チ　である。

(5) 図2の断面図のように、同一の点Pを中心とする、半径aおよびb (

)の半球形の、厚さを無視できる薄い導体が真空中に置かれている。この装置を利用して、光電効果などで真空中に放出された電子(質量m，電気量

)の運動エネルギーを分析することができる。内側の半球(内球)と外側半球(外球)の間に電位差

(

)を与えると、両者に挟まれた領域(領域Ⅰ)に電場が生じる。ただし、半球の端における電場の乱れや、他の領域の電場は無視できるとする。このとき、内球と外球の組み合わせはコンデンサーとみなすことができる。領域Ⅰに生じる電場の強さは、(4)のコンデンサーに電位差

を与えたときの値と同じであり、中心Pからの距離rの関数としてr，a，b，

を用いて　リ　と表される。

次に、電子が図2の装置のスリット

を通過し、点Xから領域Ⅰに進入した場合を考える。ただし、スリットは十分に狭く、図2のように電子は、点Pと点Xを結ぶ直線に対して垂直に通過し、紙面内を運動するものとする。また、重力と地磁気の影響は無視できるとする。特定の速度

をもったもの、すなわち、特定の運動エネルギー

をもったものだけが、点Pを中心とする等速円運動をし、点Yに到達した後、十分狭いスリット

を通過することができる。ここで、円軌道の半径は

である。このときの電子の運動エネルギー

はa，b，e，

を用いて　ヌ　と表すことができる。

(6) 金属の表面に紫外線などの光を当てたときの光電効果を考えよう。金属内部の自由電子は、いろいろなエネルギーをもっている。そのエネルギーの最大値を

とし、最大のエネルギーをもつ電子を金属の外に取り出すために必要なエネルギーの最小値(仕事関数)をWとする。

より低いエネルギーをもつ電子を金属の外に取り出すには、Wより大きいエネルギーが必要である。

ここで特に、金属内部でエネルギー

(

)をもった電子について考える。この電子が、ある波長λの単色光を金属に照射したことで、光子のエネルギーを受け取り、運動エネルギー

の光電子として放出されたとする。このとき、光電子の運動エネルギー

は、λ，W，

，

および真空中の光速c，プランク定数hを用いて　ル　と表される。

問2　放出された光電子の数を、光電子の運動エネルギーの

の関数として描いたとき、そのグラフの概形として最も適切と考えられるものを、図3の①～④のうちから選び、その番号を解答欄に記入せよ。また、グラフを特徴づける運動エネルギー

をλ，W，

，

，c，hのうち必要なもので表せ。

あるいは、クーロンの法則により、正電荷Qから距離r離れた

の電荷が受ける電気力が

であることから、正電荷Qから距離r離れた点における電場の強さは

，正電荷QからN本の電気力線が伸びる、として、電気力線の密度(半径rの球面の面積は

)が電場の強さに等しいことから

　∴

(2) 導体球内部では電荷は自由に動けますが、電荷間に斥力が働き、電荷は互いの距離を最大化しようとするので、電荷は導体球表面に一様に分布します。　② ......[ロ]

電気力線の本数は、

では(1)の状況と変わらず

本で、電場の強さも(1)と変わらず

で、無限遠を基準とする電位を

とすると、電位は

(電位・電圧を参照)です。

では半径rの球内に電荷は存在せず、電場の強さは0です。　0 ......[ハ]
導体球内部に電荷は存在せず、導体球内部では同一電位になります。半径aの導体球表面では、球の中心に電荷が存在している場合と同じく電位は

で、導体内部(

)では同一電位なので電位は

です。　

......[ニ]

(3) 元々電荷が与えられていなかった中空導体球Bの内側表面には静電誘導により負電荷

が分布し外側表面には正電荷

が分布します。

においては(2)の状態と変わらず、電場の強さは

，電位は

です。中空導体球Bの内部(

)では電場は存在せず等電位です。中空導体球Bの外側表面では電位は

，中空導体球Bの内部(

)では

です。

導体球Aの外側であって中空導体球Bの内側の部分(

)では、(2)の状態から電場が変化しないので、電位差は(2)の状態で考えます。(2)の状況では、導体球A表面の電位は

，中空導体球の内側表面の位置の電位は

で、電位差は、

であり、図1の状況でも電位差は、

より

です。　

......[ホ]

問1　中空導体球Bの外側(

)では電位Vは

です。中空導体球Bの外側表面(

)の電位は

で中空導体球Bの内部(

)では等電位、内側表面(

)の電位も

です。導体球Aの表面(

)における電位

は、

よりも[ホ]の電位差

だけ高く

で、導体球Aの内部(

)では等電位です。よって(3)の状態の電位Vのグラフは右図。

(4) (3)で中空導体球Bに生じた電荷のうち、導体球Aと対向している内側表面の電荷

は、導体球表面の電荷

と引き合っているため動けません。外側表面に分布していた電荷

が地表に流れます。　Q ......[ヘ]

中空導体球Bの電位が0になり、これよりも導体球Aの電位は[ホ]により

だけ高く、導体球の電位は

です。　

......[ト]
コンデンサーの静電容量をCとして、

(6) いろいろなエネルギーが出てきて紛らわしいですが、電子のエネルギー

，電子の最大エネルギー

，仕事関数W，光子のエネルギー

，放出された光電子の運動エネルギー

の関係は右図のようになっています(光電効果を参照)。なお、放出された光電子の運動エネルギーの最大値

は、

となります。放出される光電子で

より大きな運動エネルギーを持つものはありません。電子のエネルギーが

の場合、放出される光電子の運動エネルギー

は、右図より

よりも

だけ小さくなり、

問2　(6)で書いたように、放出された光電子の中に、

より大きな運動エネルギーを持つ光電子はありません。そうなっているグラフは③ ......[答]

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