東工大物理'03年前期[3]
図に示すように、縦型円筒容器の内部に滑らかに動くピストンが付いている。円筒容器上面とピストンの間にはばねが取り付けられている。円筒容器とピストンは断熱材でできている。ピストンおよびばねの質量は無視できるものとする。ピストンの断面積は
である。円筒容器のピストンの上側と下側には気体が充満している。ピストン下側の気体の量は
である。気体がピストンと容器内壁の間をすり抜けることはない。ピストンの下側の気体は単原子分子の理想気体であり、気体定数は
とする。また、定積モル比熱は
である。図の中のばねのばね定数は
とする。円筒容器の底部に質量
の金属球が入っている。ピストン下側の容積に比べて金属球の体積は無視できるものとし、以下の設問に答えよ。ただし、設問(f)以外は、まずその設問までに出てきた記号を使って式の形を導け。次に、数値を代入して答えよ。その際、答えは四捨五入の上、有効数字2桁にせよ。
[A] 初期状態(状態[0])では、金属球も含めた全体は
の一様温度に保ってあり、ピストンの下側と上側が同じ圧力
でつりあっている。そのときの円筒容器底面からピストン下面までの高さは
であり、ばねの長さは自然長であった。 (a) 初期状態における圧力
を求めよ。 [B] ピストンを振動させないよう配慮しながらバルブを開いてピストンの上側の気体を取り除き真空にしたところ、ピストンが上昇し、ピストンの下面までの高さが
のところでつりあって静止した(状態[1])。ピストンの下側の気体の圧力は
，温度は
となった。まだこの時点では金属球と気体との間には熱のやりとりはないとする。 (b) 圧力
を求めよ。 (c) 温度
を求めよ。 [C] その後、金属球と気体との間に熱のやりとりがあり、しばらくすると気体と金属球の温度が
の等温になった(状態[2])。 (d) このときのピストンの下面までの高さ
を求めよ。 (e) 状態[1]から状態[2]への変化に伴うピストンの下側の気体の内部エネルギーの変化
を求めよ。 (f) ピストン下面までの高さhを横軸に、気体の圧力Pを縦軸にとり、状態[0]、状態[1]，状態[2]の点を解答欄のグラフに書き込め。さらに、状態の変化に沿って線を描け。
(g) 状態[1]から状態[2]への変化でピストンの下側の気体が外部に行った仕事W[J]を求めよ。
(h) 金属球の単位質量あたりの熱容量c
を求めよ。
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解答 ばね付きピストンの問題では、圧力pと体積Vの関係が1次式となり、気体のした仕事を台形の面積を考えることにより求めることができます。
∴ 
[Pa] ......[答]
[B](b) 「ピストンを振動させないよう配慮しながら」という問題文の指定は、ピストンが無視できるほど小さな速さで移動することを意味しています。力のつり合いがつねに成立して、ピストンが動き出すときと止まるときの加速度が無視できると考えます。 ピストンに働く力のつり合い：
･･･①
∴ 
[Pa] ......[答] (c) 状態方程式：
∴ 
[K] ......[答]
[C](d) このときの気体の圧力を
として、 ピストンに働く力のつり合い：
･･･②
状態方程式：
両式より
を消去して、 ∴ 
(
) 
[m] ......[答]
[J] ......[答]
(f) 状態[0]から状態[1]までの変化は、熱のやりとりがないので、断熱変化です。温度は
300[K]から
200[K]まで低下します。断熱変化を表す曲線は等温変化を表す曲線よりも傾きが急です。状態[1]から状態[2]までは、ピストンに働く力のつり合いの式：
∴ 
(この関係を表すグラフは直線になります)よって、状態[0]→状態[1]→状態[2]の変化を表すグラフは右図太線。各状態は赤点で示した。比較のために、絶対温度
，
の等温変化を表す曲線を書き入れた。 (g) (f)で書いたグラフで面積を考えます。横軸の値に面積Sをかければ体積になるのでpV図と同様に考えることができます。
状態[1]から状態[2]までの変化を表す直線と横軸で挟まれる部分にできる台形の面積を考えて、気体のした仕事：
(∵ ①，②)
[J] ......[答]
......[答]
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