東工大物理'11年前期[1]
図1のように伸び縮みしない軽い糸におもりとして小さな玉をつけた振り子を2つ用意し、2つのおもりがそれぞれの最下点において同じ高さで左右に接触するように配置する。左側を振り子1，右側を振り子2とする。振り子1，振り子2のおもりをそれぞれおもり1，おもり2とし、重力加速度をgとする。
2つのおもりは図の紙面内でのみ運動する。2つの振り子はおもりが衝突する以外、互いに干渉しない。振り子の振れは十分小さく、振り子の等時性が成り立つとする。空気抵抗は無視する。

[A]　まず、2つの振り子の糸の長さがどちらもLである場合(図2(i))を考える。おもり1，おもり2の質量をそれぞれ，，2つのおもりの間のはね返り係数をe ()とする。
両方のおもりを糸がたるまないように左右に引き離し、最下点からそれぞれ同じ高さhだけ持ち上げ(図2(ii))静かに放すと、2つのおもりは最下点において衝突を繰り返した。
(a) おもりを放してから最初に衝突するまでの時間を求めよ。
(b) 1度目の衝突の直前のおもり1の速さvを求めよ。
(c) 1度目の衝突の直後のおもり1とおもり2それぞれの速度とを求めよ。ただし速度は図2(ii)に示すように右向きを正、左向きを負とする。解答にはvを用いてよい。
(d) 4度目の衝突の直後のおもり1とおもり2それぞれの速度，を求めよ。正負については(c)と同様に定義する。解答にはvを用いてよい。

[B]　次に、振り子1の糸の長さは[A]と同じLのままに保ち、振り子2はその周期が振り子1の2倍になるように糸を長さのものに取り替えた(図3(i))。さらに、2つのおもりを互いに弾性衝突()するものに取り替えた。おもり1とおもりの質量を，とおく。おもり2が最下点で静止している状態で、おもり1だけを糸がたるまないように左側に動かして最下点からある高さまで持ち上げ(図3(ii))、時刻に静かに放した。2つのおもりはその後、最下点のみで何回か衝突し、において初めて元の状態(に運動を開始したときの状態)に戻った。ただしは(a)で求めた時間である。
(e) 時刻におもり1を放してから、において2つのおもりが元の状態に戻るまでの間に、2つのおもりが衝突した時刻を全て挙げよ。解答にはを用いてよい。
(f) おもりの質量の比を求めよ。


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解答　単純な繰り返し衝突の問題ですが、ヘタに計算を進めるといくらでも大変になってしまいます。全貌を捉えてから計算の方針を立てるようにしましょう。

[A](a) 単振り子の周期の公式より、振り子の周期Tは、，おもりを離してから最初に衝突するまでの時間は、周期に相当し、
......[答]
(b) おもり1を放すとき、おもり1は、重力の位置エネルギーを持っています。最下点に来たとき、衝突の直前に、おもり1は、運動エネルギーを持っています。両者の力学的エネルギー保存より、
　∴ ......[答]
(c) 衝突直前の運動量は、おもり1の，おもり2のです。衝突直後の運動量は、おもり1の，おもり2の，衝突前後の運動量保存より、
　･･･①
反発係数の式：

　･･･②
①に代入して、
∴ ......[答]
②に代入して、
......[答]
(d) 2回目の衝突直前のおもり1，おもり2の速度は、，です。2回目の衝突直後のおもり1，おもり2の速度を，とすると、運動量保存より、
反発係数の式：
　･･･③
ここから，を求め、3回目の衝突、4回目の衝突、とやっていくと大変なことになります。③の分母は、ですが、②より、なので、③より、
　･･･④
となります。3回目の衝突直前のおもり1，おもり2の速度は、，です。3回目の衝突直後のおもり1，おもり2の速度を，とすると、運動量保存より、
反発係数の式：
2回目の衝突のときと同様に、④を用いて、
一方で、運動量の総和の方は、衝突直後から次の衝突直前までで正負反転するだけです。
そこで、速度の文字の設定をやり直し、n回目の衝突直後のおもり1，おもり2の速度を，として、n回目の衝突について考えることにします。おもり1，おもり2の1回目の衝突直前の速度は、v，ですが、0回目の衝突直後のおもり1，おもり2の速度，を想定すれば、正負が逆転し、，としておけばよいでしょう。
n回目の衝突直前の、おもり1，おもり2の速度は、，です。n回目の衝突前後の運動量保存より、
　･･･⑤
反発係数の式：
　･･･⑥
⑤，⑥両式を、数列，に関する連立漸化式と考えます。⑤より、
これより、は、初項，公比：の等比数列です。
∴ 　･･･⑦
⑥より、
これより、は、初項，公比：eの等比数列です。
∴
⑦に、を代入して、
∴ ，
とすることにより、
， ......[答]

[B](e) 振り子1は[A]と同じなので、最下点で衝突するのであれば、1回目の衝突はにおいて起こります。
1回目の衝突直前のおもり1の速度をV ()，n回目の衝突直後のおもり1、おもり2の速度を，とすると、1回目の衝突前後の運動量保存より、
　･･･⑧
反発係数の式：

⑧に代入して、
∴ ，
の正負、つまり、1回目の衝突後のおもり1の運動方向によって以後の運動状況が変わります。
(i) のとき、，となりますが、[A](a)よりおもり1の周期は、おもり2の周期はで、おもり2の半周期後最下点において、2回目の衝突がにおいて起こります。
2回目の衝突直後、，となり、おもり1の半周期後最下点において3回目の衝突がにおいて起こります。
3回目の衝突直後、，となり、おもり2の半周期後最下点において4回目の衝突がにおいて起こります。において、おもり1が停止していて、元の状態に戻りません。
(ii) のとき、，なので、1回目の衝突後、おもり1は左へ、おもり2は右へ動きます。おもり1はに最下点に来ますが、このときおもり2は最も右側に行っています。おもりが最下点のみで衝突する、ということは、この時点からさらにおもり1の半周期(おもり2の周期)後において最下点で2回目の衝突が起こる、ということです。2回目の衝突直前に、おもり1，おもり2ともに左向きに、速度，で動いています。最下点で衝突するためには、おもり2の方が速さが大きく、
∴
のときには、おもり1，おもり2ともに最下点の左側に進み、おもり2の周期の方が長いので、最下点の左側で衝突してしまうことになります。
のとき、2回目の衝突前後の運動量保存より、
反発係数の式：
，について解くと、
，　･･･⑨
なので、2回目の衝突後、2個のおもりは、ともに左側へ動きます。おもり2の周期の方が長いので、最下点の左側で衝突してしまうことになり、この場合も不適です。
(iii) のとき、なので、1回目の衝突後、2個のおもりはともに、右側へ動きます。おもり1が最下点に戻るとき、おもり2は最も右側に行っています。おもり1が、一旦左へ行き最下点に戻るとき、おもり2も最下点に来て、最下点で衝突します。2回目の衝突はにおいて起こります。2回目の衝突直前に、おもり1，おもり2の速度は、，で、⑨と同じ状況で、この場合にも⑨が成立します。なので、2回目の衝突後、おもり2は右側へ動きます。このとき、おもり1が衝突後にどちらに動いても、最下点で3回目の衝突が起こるのであれば、おもり2の半周期後、に起こります。この後、までの間に、衝突が起こることはありません。
以上より、であって、2つのおもりが衝突する時刻は、 ......[答]
(f) (e)(iii)の場合に、3回目の衝突直前のおもり1，おもり2の速度は，です。
3回目の衝突前後の運動量保存より、
　･･･⑩
反発係数の式：　･･･⑪
3回目の衝突後、時刻において、元の状態に戻るので、おもり2は停止しています。つまり、衝突直後はです。また、おもり1は、時刻において、時刻に静かに放した状況に戻るので、衝突直後はです。⑪より、
　∴
これと、⑩より、
∴ 　(∵ ⑨)
∴ ， ......[答]


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