東工大物理'24年前期[1]
図1のような、一辺の長さが
の立方体である4つのブロックA，
，
，
のうちいくつかと、質量の無視できる伸び縮みしない糸を用いて実験を行う。Aと
は質量の無視できる立方体の一辺の中点に質量mの小球が取り付けられたものである。Aはすべての面で滑らかであるのに対して、
は小球に接する2つの面の片方が滑らかではない。
と
はいずれも質量
の均質な立方体である。重力加速度の大きさを
とする。必要であれば以下の公式を用いてよい。
[A] 図2のように、水平な床の上に
と
を間隔
をあけて置き、互いにたるみなく糸で水平につないだ。
と
の上に、小球を下にしたAを左右対称になるように静かに置いた。図2において3つのブロックの正面は同一の鉛直面内にある。また、糸は3つのブロックの中心を含む面内にある。ブロックどうし及びブロックと床の間に摩擦ははたらかない。
と
はいずれも傾くことがないとして、以下の問いに答えよ。
(a) 糸の張力の大きさTを求めよ。
糸を静かに切ると、
と
の間隔が広がっていくとともに、Aが向きを保ったまま下がっていき、
と
の間隔が
を超えたところでAは
と
から離れて落下した。運動中、切断された糸はブロックの運動を妨げないものとする。
(b) 糸を切ったときから、Aが
と
から離れるまでの間のAの移動距離を求めよ。
(c) Aが床に接触する直前のAの速さ
と
の速さ
を、
，
，m，
を用いて表せ。
[B] 図3のように、水平な床の上に
と
を間隔
をあけて置き、互いにたるみなく糸で水平につないだ。
と
の上に、小球を下にして滑らかでない面が
の辺に接するように
を傾けて静かに置いた。図3において3つのブロックの正面は同一の鉛直面内にある。また、糸は3つのブロックの中心を含む鉛直面内にある。この鉛直面による
の断面において、初めに
が置かれたときに小球を含む対角線と鉛直線のなす角を
とする。
の場合のみを考える。図3のように小球が
よりも
に近いとき、
は正とする。
がある範囲内
にあるとき、
は静止し続け、
である場合には
は滑って向きを変化させた。
と
の間の静止摩擦係数はμであり、床と
，床と
，
と
の間には摩擦ははたらかない。
と
はいずれも傾くことがないとして、以下の問いに答えよ。
(d) 
のとき、
が
に及ぼす垂直抗力の大きさ
を、
，m，
を用いて表せ。
(e) 
のとき、
が
に及ぼす垂直抗力の大きさ
を、
，
を用いて表せ。 (f) 
のとき、
が
に及ぼす摩擦力の大きさFを、
，m，
を用いて表せ。
(g) μを
を用いて表せ。
[C] 図4のように、水平な床の上に
と
を間隔
をあけて置き、互いにたるみなく糸で水平につないだ。加えて、
と壁を糸でたるみなく水平につなぎ、
は滑らかな滑車を通して質量Mのおもりと糸でつないだ。滑車と
の間の糸は水平である。小球を下にしたAを
と
の上に傾けて置き、静かに放す。Mが十分大きく、
と
がいずれも静止したままである場合には、小球は床からの高さ
の点Pを中心として単振り子と同じ運動をする。図4において3つのブロックの正面は同一の鉛直面内にある。また、点P及びすべての糸は3つのブロックの中心を含む鉛直面内にある。この鉛直面によるAの断面において、小球を含む対角線と鉛直線のなす角をθとする。図4のように小球が
よりも
に近いとき、θは正とする。点Pと小球を通る直線と鉛直線のなす角は
である。ブロックどうし及びブロックと床の間に摩擦ははたらかない。
と
はいずれも傾くことはないものとする。初めにAが置かれたときのθを
とし、
の場合のみを考える。以下の問いに答えよ。まず、Mが十分大きく、Aの運動中、
と
がいずれも静止したままである場合を考える。
(h) 単振り子と同じ運動をする小球の速さvを、
，
，θ，
を用いて表せ。また、
がAに及ぼす力と
がAに及ぼす力の合力の大きさGを、
，m，θ，
を用いて表せ。
(i) 
と
をつなぐ糸の張力の大きさ
，および
と壁をつなぐ糸の張力の大きさ
を、G，
，M，θを用いて表せ。 次に、いろいろな質量Mのおもりを用いて実験すると、Mがある値
よりも大きい場合には運動開始時の角
を
の範囲でどのように選んでも
と
は動かないが、
よりも小さい場合には
の値によってはAの運動中
と
の両方またはいずれかが動いた。(j) 
をmを用いて表せ。
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解答 目新しい状況の問題ですが、[C]の問題文は、舌足らずな上に誤解を招く「単振り子」(単振動と思い込むと、(h)は行き詰ります)という記述のために無理な気がします。もっと状況を丁寧に説明しないと、たまたま理由もなく合力Gを
方向とした受験生だけが正解できた以外に正解者はいないのではないかと思います。また、[B]，[C]は、解答に
を残してよいのか、ということについても、指示がないと受験生の混乱を招くような気がします。
[A](a) A と
の間の垂直抗力を
とします。垂直抗力と水平方向のなす角は
です。Aに鉛直方向に働く力のつり合いより、 
∴ 
･･･①
に水平方向に働く力のつり合いより、①より、
......[答]
(b) 右図より、糸を切ったときから、Aが
と
から離れるまでの間のAの移動距離
は、鉛直下向きに、
......[答] ･･･②
(c) Aと
が接触を保っている間、右図のようにAが
降下すると、
は水平方向に
動きます。つまり、この間のAの速さ
と
，
の速さ
は一致します。糸を切ったときから、Aが
と
から離れるまでの間にAの小球の位置エネルギーの減少分は
です。糸を切ったときと、Aが
と
から離れるとき(このときのAと
，
の速さを
とします)との力学的エネルギー保存より、 ②より、
∴ 
･･･③Aが
と
から離れてからAが床に接触するまでにAが降下する距離は
です。Aが
と
から離れてしまうと、
，
は速さ
で等速度運動します。よって、Aが床に接触する直前の
，
の速さは
です。Aが
と
から離れるときと、Aが床に接触する直前との力学的エネルギー保存より、 ③より、
∴ 
......[答]
Aが
と
から離れて以降Bは速さ
で等速度運動するので、③より、 
......[答]
[B] 
のとき、
と
の間は滑らず、
には、滑らかでない面に沿って上向きに静止摩擦力Fが働きます。 
が
に及ぼす垂直抗力(滑らかでない面に垂直に
から
に向う向き)の大きさを
とすると、作用反作用の法則より、同じ大きさ
で逆向き(滑らかでない面に垂直に
から
に向う向き)の垂直抗力が
から
に働きます。
が
に及ぼす垂直抗力(接触面に垂直に
から
に向う向き)の大きさを
とすると、作用反作用の法則より、同じ大きさ
で逆向き(接触面に垂直に
から
に向う向き)の垂直抗力が
から
に働きます。
(d) 右図より、滑らかでない面に垂直な方向に
が受ける力は、垂直抗力
(左上向き)と小球に働く重力のこの方向の成分
(右下向き)です。これらの力のつり合いより、
∴ 
......[答] ･･･④
(e) 
が滑って向きを変えるとき、
は回転運動をします。
のときには
は回転運動しません。そこで、
に働く力について、小球の位置を中心とする力のモーメントを考えます。右図より、
が受ける垂直抗力
のうでの長さは
で、時計回りのモーメントです。 
が受ける垂直抗力
のうでの長さは
で、反時計回りのモーメントです。
力のモーメントのつり合いより、∴ 
......[答] ･･･⑤
(f) 
の滑らかでない面と
の間には摩擦力が働きます。
で小球が
中心を通る鉛直面より右にあるときは、摩擦力は右上向き、
で小球が
中心を通る鉛直面より左にあるときは、摩擦力は左下向きです。滑らかでない面に沿う方向に
が受ける力は、静止摩擦力F (
のとき右上向きとします)，垂直抗力
(右上向き)，小球に働く重力のこの方向の成分
(左下向き)です。これらの力のつり合いより、 ④，⑤より、
においては
，
であり、問題文では、Fを摩擦力の大きさとしているので、
......[答]
(g) 
と
の間が滑り出すとき、つまり、
となり、静止摩擦力Fが最大静止摩擦力
に等しくなるとき、④より、 
......[答]
[C] 図4を見ると、点Pを中心として単振り子と同じ運動をする小球の振り子の長さは
です(問題文に「単振り子」と書かれていますが、θ微小という記述もないので、小球の運動は単振動ではなく、ここは不等速円運動として考えます)。小球の位置をQとして、PQが鉛直線となす角は、問題文、図4によると
です。初めにAが置かれたとき(
)には、PQと鉛直線とのなす角は
で、右図より、両位置での高さの差は
です。
(h) 
のときには、運動エネルギーは0だったので、力学的エネルギー保存より、 ∴ 
......[答] ･･･⑥
小球に働く重力のPQ方向成分は
(向きは下向き)です。
がAに及ぼす垂直抗力
，
がAに及ぼす垂直抗力
の合力(問題文には何も書かれていませんが、単振り子の糸の方向
方向を向くとして考えます)の大きさをGとして、小球の
方向の運動方程式は、 
(∵ ⑥)
......[答] ･･･⑦垂直抗力
はAの左下面に垂直で右下面に平行です。
と右下面のなす角は、右図より
です。よって、 
･･･⑧垂直抗力
はAの右下面に垂直で左下面に平行です。
と左下面のなす角は、右図より
です。よって、 
･･･⑨
(i) 
，
は静止しているので、力のつり合いが成立しています。 
に水平方向に働く力は、左側の糸の張力
，右側の糸の張力
，Aが
に及ぼす垂直抗力の水平成分
(左向き)です。これらの力のつり合いより、⑧より、
......[答] ･･･⑩
に水平方向に働く力は、左側の糸の張力
，右側の糸の張力
，Aが
に及ぼす垂直抗力の水平成分
(右向き)です。これらの力のつり合いより、⑨，⑩より、
(j) 
と
の両方またはいずれかが動くとき、
，
に関する力のつり合いが崩れ、⑩，⑪が成立しなくなります。 です。Gが大きくなり
になると、
となりつり合いが崩れる可能性が出てきますが、このとき、 
ですが、
であっても
であるために
が必要で、
であれば、であり、力のつり合い⑪は維持されます。このとき、⑩において
であって、力のつり合い⑩も維持されます。よって、
......[答]
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各問題の著作権は
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お送りください。 
......[答] ･･･⑪
の範囲において、
，
，
なので、
)
