東大物理'07年前期[2]

Ⅰ　まず、図2－2のように、1つのリングだけが水平に固定されておかれており、そのリングの中心を磁石が一定の速さvで下向きに通り抜ける場合を考える。z座標を、リングの中心を原点として、鉛直上向きが正になるようにとる。磁石はz軸に沿って、z軸の負の向きに運動することに注意せよ。

(1) 磁石がリングに近づくときと遠ざかるとき、それぞれにおいて、リングに流れる電流の向きと、その誘導電流が磁石に及ぼす力の向きを答えよ。電流の向きは上向きに進む右ねじが回転する向きを正とし、正負によって表せ。

(2) 磁石の中心の座標がzにあるとき、

に置かれたリングを貫く磁束

を、図2－3のように台形関数で近似する。すなわち磁束は、区間

で0から最大値

に一定の割合で増加し、区間

で最大値

から再び0に一定の割合で減少するとする。ここで磁束の正の向きを上向きにとった。磁石が通過する前後に、このリングに一時的に誘導起電力が現れる。その大きさを

，v，a，bを用いて表せ。

(3) リング一周の抵抗をRとしたとき、誘導起電力によって流れる電流の時間変化

のグラフを描け。リングに電流が流れ始める時刻を時間tの原点にとり、電流の正負と大きさ、電流が変化する時刻を明記せよ。ただし、リングの自己インダクタンスは無視してよい。

Ⅱ　次に、図2－1(b)のように、鉛直方向に問Ⅰで考えたリングを密に積み上げ、その中を問Ⅰと同じ磁石が通過する場合を考える。鉛直方向の単位長さあたりのリングの数をnとする。

(1) リングに電流が流れるとジュール熱が発生する。磁石が速さvで落下するとき、積み上げられたリング全体から単位時間当たりに発生するジュール熱を求めよ。

(2) 磁石の質量をM，重力加速度をgとしたとき、エネルギーの保存則を用いると磁石が一定の速さで落下することがわかる。その速さvを求めよ。ただし、このとき空気の抵抗は無視できるものとする。

Ⅲ　図2－1(a)で、磁石のN極とＳ極を逆にして実験を行うと、磁石はどのような運動を行うか、その理由も示せ。

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解答Ⅰ(1) ・磁石がリングに近づくとき、リングによって形成されるコイルを貫く上向きの磁束は増大し、上向きの磁界が強くなるので、レンツの法則により、コイルにはこれを抑える向き、つまり、下向きの磁界を作る方向に誘導起電力が発生します。右ねじの法則より、(右ねじが下向きに進むことになるので)誘導電流の向きは負 ......[答] (上から見ると誘導電流は時計回りに流れます)

コイルに向かい合っているのはS極で負の磁荷をもっており、誘導電流が作る下向きの誘導磁界と逆向きに力が働く(磁界を参照)ので、誘導電流が磁石に及ぼす力の向きは、z軸正方向 ......[答]

・磁石がリングから遠ざかるとき、コイルを貫く上向きの磁束が減少し、上向きの磁界が弱まるので、レンツの法則により、コイルにはこれを抑える向き、つまり、上向きの磁界を作る方向に誘導起電力が発生します。右ねじの法則より、(右ねじが上向きに進むことになるので)誘導電流の向きは正 ......[答]

コイルに向かい合っているのはN極で正の磁荷をもっており、上向きの誘導磁界と同じ向きに力が働くので、誘導電流が磁石に及ぼす力の向きは、z軸正方向 ......[答]

(2) リングを1回巻きのコイルと考えて電磁誘導の法則より、誘導起電力の大きさVは、

誘導起電力が現れるとき、

は図2-3の

の範囲における傾き

(

)であり、

は磁石が落下する速さvになります。
∴

......[答] (

のときも同様です)
図2-3において、

，

で一定になっている間は、誘導起電力は0です。

(3) リングに電流が流れ始める

というのは、

のときです。磁石が

から

まで進む時間は、

磁石が

に来るのは、

のときで、

における電流は、磁束が変化せず起電力が生じないので、

磁石が

に来るのは、

のときで、Ⅰ(1)より、

における電流は正の向きであって、オームの法則より、

Ⅱ(1) 1個のリングに発生するジュール熱Qは、近づくときと遠ざかるときの2度、時間

の間、一定の大きさ

の電流が流れることに注意して、

磁石が単位時間に通過するリングの個数は

個(単位長さあたりのリングの個数×1秒に落下する距離)だから、単位時間に発生するジュール熱は、

(2) 題意より、(1)で求めた単位時間に発生するジュール熱は、エネルギー保存則より、磁石が単位時間に失う位置エネルギーに等しくなります(一定速度で落下するので、運動エネルギーは変化しない)。

磁石が単位時間に失う位置エネルギーは、

これを(1)の結果に等しいとおくと、

Ⅲ　磁石周囲にできる磁力線の向きが逆になるので、Ⅰ(1)で考察したリングに流れる電流の向きが逆になりますが、磁石のN極とS極(従って、磁荷の正負)が入れ替わっているので、磁石に働く力の向きは変わりません。

リングに流れる電流の大きさ、磁石が受ける電磁力、重力の大きさも、Ⅰ，Ⅱの状況と変わりはなく、Ⅰ，Ⅱと同様に、磁石は一定の速さvで落下します。速さvはⅡ(2)で求めた値と同じ値です。
図2-1(a)と同じ速さで落下する。リングの誘導電流の向きが逆になるが、磁石のN極とS極が入れ替わるので磁石が受ける力の向きは変わらず、力の大きさも変わらないから。 ......[答]

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