東大物理'13年前期[1]
次のⅠ，Ⅱの各問に答えよ。
Ⅰ 図1－1のように、なめらかな水平面上で、ばね定数がkのばね2本を向かい合わせに、それぞれ左側および右側の壁に一端を固定し、他方の端に同じ質量mの小球1および小球2をそれぞれ取り付けた。ばねが自然長のとき、小球間の距離はdであった。ただし、小球の大きさとばねの質量は無視してよい。今、図1－2のように、小球1を、ばねが自然長になる位置から、ばねが縮む方向に距離sだけ動かし(
)、そこで静かに放した。以下の設問に答えよ。 (1) 小球1は動き始め小球2に衝突した。衝突直前の小球1の速さを求めよ。
(2) 小球どうしの衝突は弾性衝突であるとして、この衝突直後の小球1と小球2の速さをそれぞれ求めよ。
(3) この衝突後、再び衝突するまでに、小球1側のばねおよび小球2側のばねは、それぞれ自然長から最大どれだけ縮むか答えよ。
(4) 
の場合に、最初の衝突から再衝突までの時間を求めよ。 Ⅱ 次に、あらい水平面上に、Ⅰと同じばねと小球を用意した場合を考える。どちらの小球も水平面との間の静止摩擦係数はμ，動摩擦係数は
である。重力加速度の大きさをgとして以下の設問に答えよ。 (1) Ⅰと同じように(図1－2)、小球1を、ばねが自然長になる位置から、ばねが縮む方向に距離sだけ動かし、そこで静かに放した。小球1が動き始めるために、sがみたすべき条件を求めよ。
(2) 小球1が動き始めた後、小球2に衝突するためにsがとるべき最小値を求めよ。
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解答 ばねを含めた系でのエネルギーを考える基礎問題です。
Ⅰ(1) ばねを自然長からsだけ縮めたときのばねの弾性エネルギーは
です。衝突直前に左のばねはdだけ伸びていて弾性エネルギーは
，求める小球1の速さを
として運動エネルギーは
，力学的エネルギー保存より、 ∴ 
......[答] (2) 衝突直後の小球1の速度を
，小球2の速度を
とします。 
･･･①①に代入して、
∴ 
，
......[答] (3) 衝突直後の小球1の運動エネルギーは0，弾性エネルギーは
，力学的エネルギー保存より、小球1側のばねが最も縮んだときにも、運動エネルギーは0で弾性エネルギーは
となるので、小球1側のバネは自然長から最大d ......[答] 縮みます。 衝突直後の小球2の運動エネルギーは
，弾性エネルギーは0で、小球2側のばねが自然長から最大
縮むとして、力学的エネルギー保存より、 ∴ 
......[答] (4) 
のとき、
小球1も小球2も同じ周期
，同じ振幅dで単振動し、衝突後から時間
経過後、小球1がはじめにいた位置(小球1側のばねの自然長の位置)で再衝突します。
最初の衝突から再衝突までの時間は、
......[答]
Ⅱ(1) 小球1に働く静止摩擦力をf とします。小球1に働く力のつり合いより、 小球1が動き始める条件は、静止摩擦力f が最大静止摩擦力を上回ることです。
∴ 
......[答] (2) 小球1が動き出すとき、運動エネルギーは0で、弾性エネルギーは
，小球1が小球2に衝突するまでに距離
動いて、この間に動摩擦力がする仕事は、
衝突直前の小球1の速度を
として、運動エネルギーは
，弾性エネルギーは
，エネルギーの原理より、 小球1が動き始めた後、小球2に衝突するための条件は、
となることで、 
を解くと、となりますが、複号の－を採ると
となるので、衝突するためのsの条件は、 求めるsの最小値は、
......[答]
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