波動・音波演習問題(その2)

波動・音波演習問題(その2)

横浜市大物理'07年[3]

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平行な線路上を、上り列車Aと下り列車Bが静止、または逆向きに一定の速さで移動している。列車Bの先頭にある警笛が鳴らす警笛音を、列車Aに乗っている観測者が聞いている場合について以下の問い(1)～(3)に答えよ。ただし、列車Bの発する警笛音の振動数を

，音速をcとする。列車Aの進行方向と列車Aから見た列車Bの方向とのなす角をθとする。また、音速は列車の速さよりも十分大きく、上下線の線路間の距離は警笛音の波長よりも十分長いとする。

(1) 図1のように列車Aが点

で静止し、列車Bが速さ

で走っている場合を考える。

(a) 列車が点Yを通過したときにある波面が出され、点

を通過したときに次の波面が出されたとする。このときの距離

を求めよ。

(b)

とする。点Yより発せられた音波が点

に到達してから、点

より発せられた音波が点

に到達するまでの時間を求めよ。

(c)

が

に比べて十分大きいときには、

としてよいことを利用して、観測者が聞く警笛音の振動数

をc，

，

，θ を用いて表せ。

(2) 図2にように、列車Aが速さ

で走っていて、列車Bが静止している場合について考える。

(a) 列車Aの速度の

方向成分を求めよ。

(b) ある短い時間に、列車Aの観測者が横切る波面の数を計算することにより、観測者が聞く警笛音の振動数

を求めよ。ただし、短い時間では、(a)で求めた速さは変化しないとしてよい。

(3) 図3のように、列車Aと列車Bが同じ速さ

で走っている場合を考える。

(a) 列車Aの観測者が聞く警笛音の振動数

をc，

，θ，

を用いて表せ。

(b)

で十分離れていた列車Bと列車Aが、ともに振動数

の警笛を鳴らしながら近づき、ある時刻ですれ違い、再び遠方に離れる場合を考える。列車Aの観測者と列車B先頭との水平方向の距離をL，平行な線路間の距離を

とする。

におけるLを

とし、

は

より十分大きいとする。

このとき観測者にはうなりが聞こえ、1秒間あたりのうなりの回数

は時間とともに変化した。

を縦軸、t を横軸とするグラフの概形として正しいものを図4の(i)～(vi)より選べ。さらに

を

，

，c，

，t を用いて表せ。

[解答へ]

長崎大物理'08年[3]

次の文章の　　に適当な語句または数式を入れよ。
電車の軌道が東西方向に、道路が南北方向にそれぞれ直線的に配置され、交差している。軌道と道路が交差する踏切を原点Oとし、東西方向にx軸、南北方向にy軸をとる。電車は振動数

の警笛を鳴らしながら、西から東の方向へ一定の速度

で走行している。いま、電車が原点から東へ

(

)の位置Qにさしかかっている。ただし、音速は

とする。
電車が位置Qを通過するとき、踏切の位置にいる観測者Aに聞こえる警笛音の振動数は　あ　

であり、

とは異なっている。この現象を　い　という。
電車が位置Qを通過したあとに、踏切から南へ

の位置Pにいる観測者Bに聞こえる警笛音の振動数は次の手順で求められる。
位置Qで発した警笛音が位置Pに到達するのに要する時間は　う　

であり、その間に電車は位置

まで進み、その移動距離

は　え　

である。また、その間に発した警笛音の波の個数は　お　個である。位置Pにいる観測者Bに聞こえる警笛音は

間に　お　個の波が入った音であり、その波長は　か　

となる。したがって、観測者Bに聞こえる警笛音の振動数は　き　

となる。
[解答へ]

北大物理'10年後期[3]

次の文章の (1) から (8) に適切な数式を入れよ。また、 (a) ， (b) には、m，

，

の中から選んで記入せよ。

問1　図1のような装置はクインケ管と呼ばれ、Aから入った音は左と右に分かれて進み、再び出会って干渉しBで聞こえる。右側の管は可動で、その長さを連続的に変化させることができる。
Bでの音の強さは、音の波長を

，左と右の経路の差を

としたとき、整数mを用いて、

(a) のとき強めあって大きくなり、

(b) のとき打ち消しあって小さくなる。音の周波数が

のときに、図1のように右の管をゆっくりと引き出すと距離

ごとにBで聞こえる音の強さが小さくなった。このときの波長はXを用いて (1)

と表され、音の速さは

(2)

であることがわかる。次に、右の管を固定して音の周波数をゆっくりと変化させたところ、周波数が

変化するごとにBで聞こえる音の強さが小さくなった。音の速さvは周波数によらないとすると、このときの左と右の管の経路の差はf とvを用いて (3)

と表される。

問2　同様の現象は、光を用いても確かめられる。図2で、Pは真空中での波長が

の単色光を取り出せる光源、Hは光の一部を透過し一部を反射する半透明鏡、

と

は光線に垂直に置かれた平面鏡である。光源Pからの光線はHで2つの方向に分けられた後、それぞれ

と

で反射され、再びHを経てQへと導かれ干渉する。装置全体は真空中に置かれ、Hと

の間には、内側の幅

の透明容器Cが置かれている。
最初、Qにおいて光が打ち消しあって暗い状態から

をゆっくりと右方向に

だけ平行移動させたところ、Qでの光は，明暗の周期を100回繰り返し暗い状態となった。このときの

の移動距離xは

を用いて (4)

と表される。次に、容器Cをある気体でゆっくりと満たしたところ、容器内部の屈折率は1からnへと連続的に増加し、Qでの光は暗い状態からk回の明暗の周期を繰り返し、暗い状態となった。真空中の光の速さを

とすると、屈折率nの容器中を光がdだけ進むのに必要な時間は (5)

なので、同じ時間内に真空中で光の進むことのできる距離は (6)

である。このことから、容器を気体で満たしたことは、真空中での経路長が往復で (7)

だけ伸びたことと同等であることがわかる。したがって、気体の屈折率nはkを用いて (8) と求めることができる。
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東北大物理'10年前期[3]

図1に示すような長さ

で両端の開いた管(開管)が、z軸上の回転軸に開管の中心が原点と一致するように固定されている。回転軸が矢印の方向に回ることにより、開管はx-y平面内でz軸の正方向から見て反時計回りに回転できる。開管内部には低周波発信器に接続された小型スピーカーが取り付けられている。低周波発信器から適切な振動数の正弦波を小型スピーカーに入力すると、開管内の気柱に両方の開口端が腹の位置となる定常波を作ることができる。定常波を音源とした音は、両方の開口端が出口となり周囲に伝わる。この音の波形は、x-y平面上に置かれたマイクを通してオシロスコープで調べることができる。
床や壁などは、音が通過および反射をしない材質でできているとして、以下の問いに答えよ。解答は、解答用紙の所定の場所に記入せよ。また、結果だけでなく考え方や計算の過程も記せ。

問(1) 図1のように、開管の中心軸をy軸と一致させて開管を静止させた。低周波発信器の振動数をゼロからゆっくりと増加させていくと、ある振動数になったとき開管内の気柱に基本振動の定常波ができ、開口端から音が響き始めた。この音をx軸上に置かれたマイクを通してオシロスコープで調べた。オシロスコープの時間軸1目盛りの間隔を

(

ミリ秒)にしたところ、図2で示すような波形を観測することができた。

(a) オシロスコープに表示された波形から、定常波の周期

の数値および振動数

の数値を求めよ。

(b) 音速が

であるとき、図2で観測した音の波長

の数値を、有効数字2桁で求めよ。

に対応する低周波発信器の振動数

の数値を求めよ。

(d) 低周波発信器の振動数をf に固定して、開管内の気柱に作られる定常波の波長を

とした。2つの開口端から出た音の干渉を調べるため、マイクを

の線上でy軸正方向に移動させた。マイクを通してオシロスコープで測定した振幅とマイクのy座標位置の関係を示す最も適切なグラフを、図3の(ア)～(カ)の中から1つ選べ。また、そのグラフを選んだ理由を記せ。なお、グラフを見やすくするために、○で示す測定値はなめらかな破線で結んである。

問(2) 次に、低周波発信器の振動数を問(1)(c)で求めたf に固定し、開管を角速度ω で回転させた。このとき、回転による開口端の速度は音速Vより十分に遅く、実験室内には風がない。また、開口端外からの音はないものとする。

(a) 開管の中心軸がy軸と重なるとき、2つの開口端はそれぞれ

と

の位置にある。このときの時刻を

とし、そのとき

にあった開口端の速度のx成分

とy成分

を、

，ω，t を用いて表せ。

(b) マイクを

の長さに比べると開管から十分に離れたx軸上の点に移動した。開口端速度のx方向成分

が周期的に変化するため、ドップラー効果により開口端から放出される音の波長もまた周期的に変化する。マイクの位置で観測される音の波長の最小値と最大値を、

，ω，Vを用いて求めよ。

(c) 回転する2つの開口端からの音波には、ドップラー効果による振動数のわずかな違いがあるため、うなりが生ずる。振動数の違いは周期的に変わるので、うなりの回数もまた周期的に変化する。マイクの位置で観測されるうなりの単位時間あたりの回数の最大値を、

，ω，Vを用いて表せ。

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九大物理'10年[3]

無風状態の空気中を伝わる速さ

の音波について考える。以下の問いに答えよ。

問1．文中の空欄にあてはまる数式を答えよ。

図3(a)のように点Mに静止している振動数測定器に対して、救急車が直線P上を

(ただし、

)の速さで近づきながら、一定の振動数

の音を出している。すなわち救急車は1秒間にf 個の音波(1波長分を1個と考える)を発している。測定器からの距離が

の地点を点Aとする。点Aで発せられた音波が測定器に到達するまでの時間は、　ア　である。救急車が点Aを通過後、

秒後に点Bに来た。ただし、点Bは点Aと点Mの間にある。点Bで発せられた音波が測定器に到達するまでの時間は、　イ　である。測定器が点Aからの音波を感知してから、点Bからの音波を感知するまでの時間は、　ウ　となる。時間　ウ　の間には

個の音波が含まれるので、測定器が測定した音波の振動数は、　エ　となる。

問2．文中の空欄にあてはまる数式を答えよ。

図3(b)のように直線P上にある点Mから測定器を点Oに離した場合を考える。問1と同じく、救急車は直線P上を

の速さで左から右に移動しながら、一定の振動数

の音を出している。直線P上のある地点を点Cとし、線分OCと直線Pのなす角を

とする。救急車が点Cを通過後、

秒後に点Dに来た。線分ODの長さを

とする。図3(b)のように線分OCに対して点Dからの垂線の足を点Hとする。時間

が十分短いとき、角DOCは十分小さいので、線分ODと線分OHの長さが等しいと見なせる。このことを利用すると、線分OCの長さは、　オ　となる。点Cで発せられた音波が測定器に到達するまでの時間は、　カ　である。測定器が点Cからの音波を感知してから、点Dからの音波を感知するまでの時間は、　キ　となる。時間　キ　の間には