愛媛大理数学'08年[5]
行列A，E，Oを
とする。ここで、a，b，c，dは実数で、ある実数kに対して、
，
(1) 
を示せ。 (2) 
とおく。自然数nに対して、 が成り立つことを示せ。
(3) 
のとき、
(nは自然数)を求めよ。
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解答 固有値重解型の行列の累乗の問題です。素直に対角化したり、スペクトル分解したりするのでは解決できないので、特殊な技巧が必要になります。本問では、(2)でその技巧が提示されていて、(2)を利用して
を求めることになります。
･･･①よって、
(Ⅰ) 
のとき、 より、成り立ちます。
(Ⅱ) 
のとき、 が成り立つと仮定します。この両辺に左からAをかけて、
①より、
なので、 よって、
のときにも成り立ちます。 (Ⅰ)，(Ⅱ)より、自然数nに対して、
が成り立ちます。
別解 
と書けて、 
･･･②(1)より、
なので、
のとき、 です。これより、②では、
，
のところだけが生き残って、
(3) 
のとき、ハミルトン・ケーリーの定理より、 となるので、(1)の
の場合になります。 また、(2)の結果で
とすることにより、 
......[答]
追記．固有値重解型の行列の累乗の問題を初めて見る受験生には、(2)の別解は、あまりに技巧的と映るかも知れませんが、最近少なくなったとは言っても、ポピュラーで古典的な技巧なので、スペクトル分解の形と見比べながら頭に入れておいてください。例えば、早大理工'92[1]：
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とする。条件
，
をみたす整数a，b，c，dを成分とする行列
を適当に選ぶとき、
が成り立つ。このとき、
(1) x，yを求めよ。
(2) 
(
)を求めよ。
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では、(1)は、実質的に整数問題なので、
の左からPをかけて、
∴ 
，
，
，
･･･①
第3式より、
･･･②
これを第1式×
に代入すると、
より、
∴ 
......[答]②より、
①の第4式より、
，
これと
より、
とyは2の約数ですが、
より、こうなるのは、
，
のときのみです。
......[答]
ハミルトン・ケーリーの定理より、
･･･③
として、二項定理より、
③より、
では、
となるので、
......[答] とするべきです。
さて、2008年度の入試問題で、言わば「行列の漸化式」を考えるようになっている問題が目に付くので、まとめておくことにします。以下、
，B，C，D，P，Qを2次の正方行列、Eを2次の単位行列として考えることにします。
という漸化式は、言ってみれば、公比Bの等比「行列」列のようなものですが、これは、数列と同じく、一般項
は
です。
2項間漸化式：
･･･①
は、数列の場合と同様に、
と
をDに置き換えた
･･･②
を考えると、
従って、
が存在すれば、
として、①－②を作ると、
「行列」列
は、公比Bの等比「行列」列なので、
∴ 
となり、
を行列の累乗の問題として求めれば、数列の場合と全く同様にして解答できます。
が存在しない場合は、数列の場合のようには行きません。
として、①の項番号を1つずつ小さくしてBを順次かけた式を作り、
･･････
これらを足し合わせると、両辺の
，
，･･･，
が消し合って、
(
)
が存在しないとき、Bは固有値1をもっています。もう1つの固有値をuとして
であれば、
，
を解き、
，
，
，
，
(スペクトル分解を参照)より、
(
)
∴ 
(
)
となります。
固有値1が重解になっている(
)場合は、本問愛媛大(2)の結果を用いて、
∴ 
(
)
3項間漸化式：
･･･③
では、
かつ
が存在すれば、③を、
･･･④
･･･⑤
と2通りに書き換えて、
が公比Cの「行列」列であることから、
･･･⑥
が公比Bの「行列」列であることから、
･･･⑦
⑥－⑦として
を左からかけることにより、
と、数列と同様に求めることができます。
のときには⑤は作れますが④が成立しません。⑦は使えるので、
が存在しない場合も含めて以下のようにします(このタイプの問題は、山口大医'08年[4]を参照)。
として、⑦の項番号を1つずつ小さくしてCをかけた式を順次作り、
･･････
これらを足し合わせると、左辺の
，
，･･･，
が消し合って、
∴ 
(
)
，
の形を求めれば、
を求めることができます。
以下に2項間漸化式の場合の問題例を挙げます。
金沢大理工'08年前期[1]：
自然数nに対して、2次正方行列
を
により定める。また、2次正方行列
は
(
)
(1) 数学的帰納法を用いて
(
)が成り立つことを示せ。
(2) ある2次正方行列Cに対して、
がすべてのnについて成り立つとする。このとき、Cを求めよ。 (3) (2)の条件をみたす
のうち、逆行列をもたないものは
に限ることを示せ。
解答
(1) (Ⅰ) 
のとき、 より成り立ちます。
(Ⅱ) 
のとき、 が成り立つと仮定します。
より、
のときも成り立ちます。 (Ⅰ)，(Ⅱ)より、
(
)が成り立ちます。
注．
として、ハミルトン・ケーリーの定理より、 より、Dの固有値は2と3で、
，
を連立すると、 ここからも、
となります。
･･･①
と
をGと置き換えた式
･･･②より、
を左からかけて、①－②より、
は(1)の
と全く同じ形の漸化式に従っています。
･･･③となるので、同様に、
∴ 
･･･④ 
･･･⑤⑤がすべてのnについて成り立つとすれば、
においても成り立つので、 
においても成り立つので、
として、∴ 
，
，
，
これらを満たすa，b，c，dは、
のみで、 ∴ 
逆に、
のとき、すべてのnについて⑤が成り立ちます。
∴ 
......[答]
(3) (2)より
なので、④において、 ③より、
の行列式は、
のとき、
のとき、
，
より、
よって、
の中で逆行列をもたないものは
に限ります。
阪大理系'08年前期[1]：
2次の正方行列
，
，
，
，･･･を
で定める。ただし、Oは2次の零行列、BとCは2次の正方行列とする。
(1) 
をBとCを用いて表せ。ここでEは2次の単位行列とする。 (2) BとCを
，
とするとき、
を求めよ。
解答 Cの累乗に規則性があるので、この問題は誘導通りに解答します。
(1) 与えられた漸化式を用いて、
を計算してみます。 
なので、
･･･①これより、
(
)と予測できます。
(Ⅰ) 
のとき、②より予測は成り立ちます。 (Ⅱ) 
のとき、予測が成り立つとして、 (Ⅰ)，(Ⅱ)より、
において予測は成り立ちます。
∴ 
......[答]
(2) (1)の結果の中にCの累乗が出てくるので、
，
，･･･ を調べてみます。 従って、nを0以上の整数として、
(1)より、
右から
をかけて、 
......[答]
)になり、うまく行きません(高校範囲外であれば行列の成分に虚数が出てきてもよいのですが)。
広島県大'08年[5]：
条件
，
(
)で定められる2次の正方行列
を考える。ここで、
，
である。
(1) 
を求めよ。
(2) 数学的帰納法により、
は逆行列をもつことを示せ。
(3) 
を示せ。
(4) 
を求めよ。
解答 数列であれば、
という漸化式で、両辺の逆数を考え、
とすると、
が等差数列になる、というタイプのものです。
行列では、逆行列を考えると等差数列と類似の形が出てきます。
(1) 
......[答]
(2) (Ⅰ) 
のとき、(1)より
は逆行列をもちます。 問題文の漸化式で
として、 右から
をかけると、 これは、
の逆行列が
であることを意味します。 ･･･①
よって、
も逆行列をもちます。 (Ⅰ)，(Ⅱ)より、
は逆行列をもちます。
(3) ①より、
(4) (3)の結果を繰り返して使うことにより、
∴ 
......[答]
九州工大工'08年前期[3]：
行列A，B，
，
を
とする。2次の正方行列
，
(
)を
，
(1) 
，
を求めよ。 (2) 
とする。すべての自然数nに対して が成り立つことを数学的帰納法によって示せ。
(3) 自然数nに対して
とおく。
を求めよ。 (4) 自然数nに対して
とおく。
を求めよ。 (5) 自然数nに対して
を求めよ。
解答 行列の連立漸化式ですが、数列の連立漸化式と同じ感覚でできます。
(1) 
......[答]
......[答]
(2) 
(Ⅰ) 
のとき、
より成り立ちます。 (Ⅱ) 
のとき、
が成り立つと仮定します。 よって、
のときも成り立ちます。 (Ⅰ)，(Ⅱ)より、すべての自然数nに対して、
が成り立ちます。
(3) 
･･･① 
･･･②①＋②より、
(4) ①－②より、
(3)と同様にして、
(5) 
......[答]
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，
，
(つまり、
と
は積について交換できる)
，
(
)
，
，
，
として、
，
(
)
･･･②
のときも予測は成り立ちます。
のとき、
が逆行列
をもつと仮定します。
，
，
，
......[答]
，
より、