旭川医大数学'11年[2]
平面上に正三角形でない鋭角三角形ABCが与えられている。辺BC，CA，ABの長さをそれぞれa，b，cとし、とおく。辺BC，CA，ABをそれぞれ：，：，：に内分する点をX，Y，Zとする。また、Oを原点とする。次の問いに答えよ。
問1　点Nをと定義するとき、3直線AX，BY，CZはNで交わることを示せ。
問2　Pを△ABCの内部の点、△PBC，△PCA，△PABの面積をそれぞれ，，とするとき、
と表される。このことを用いて、△ABCの外心をQとするとき、を，，，a，b，cを用いて表せ。
問3　△ABCの重心をGとする。点NがQとGを通る直線上にあるとき、△ABCは二等辺三角形であることを示せ。


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解答　問3は凄まじい計算になります。ひたすら地道にやるしかなさそうです。

問1　
となるので、チェバの定理の逆より、3直線AX，BY，CZは、1点Mで交わります。メネラウスの定理より、
　∴ ZM：MC = ：c
よって、MはZCを：cに内分する点です。
となるので、より、
　･･･①　(ベクトルの内分・外分を参照)
一方、


　･･･②
①，②より、MとNは一致し、3直線AX，BY，CZはNで交わります。

別解．，，より、，
②より、
よって、A，N，Xは一直線上の点です(ベクトルの1次独立を参照)。
よって、B，N，Yは一直線上の点です。
よって、C，N，Zは一直線上の点です。
以上より、3直線AX，BY，CZはNで交わります。

問2　問題文中の
　･･･(＊)
を導いておきます。APの延長とBCとの交点をLとします。Lは、BCを：に内分する点です。よって、
Pは、ALを：に内分する点です。よって、

，，とすると、中心角は円周角の2倍になるので、
，，
△ABCの外接円の半径をRとすると、△QBC，△QCA，△QABの面積，，は、
，，　･･･③　(三角形の面積を参照)
正弦定理より、
△ABCの面積について、
　(2倍角の公式を参照)
　(余弦定理を参照)



同様に、
以上より、(＊)を用いて、
......[答]

問3　問2より、

　(∵ )

②を用いて、
点NがQとGを通る直線上にあるとき、kを実数として、より、
，
両式よりkを消去して、
，より、
展開して整理すると、
③を用いて、

正弦定理を用いて、
余弦定理を用いて、
分母を払って、
第1項のカッコ内は、
第2項の中カッコ内は、
よって、
カッコ内を整理して、
　(因数分解の技法を参照)
中カッコ内をで割ると、割り切れて、商は、　(因数定理を参照)
これをさらにで割ると、割り切れて、商は、，結局、
より、 または または
よって、△ABCは二等辺三角形です。


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