旭川医大数学'11年[2]
平面上に正三角形でない鋭角三角形ABCが与えられている。辺BC，CA，ABの長さをそれぞれa，b，cとし、
とおく。辺BC，CA，ABをそれぞれ
：
，
：
，
：
に内分する点をX，Y，Zとする。また、Oを原点とする。次の問いに答えよ。
問1 点Nを
と定義するとき、3直線AX，BY，CZはNで交わることを示せ。 問2 Pを△ABCの内部の点、△PBC，△PCA，△PABの面積をそれぞれ
，
，
とするとき、 と表される。このことを用いて、△ABCの外心をQとするとき、
を
，
，
，a，b，cを用いて表せ。 問3 △ABCの重心をGとする。点NがQとGを通る直線上にあるとき、△ABCは二等辺三角形であることを示せ。
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解答 問3は凄まじい計算になります。ひたすら地道にやるしかなさそうです。
問1 
となるので、チェバの定理の逆より、3直線AX，BY，CZは、1点Mで交わります。メネラウスの定理より、 
∴ ZM：MC = 
：cよって、MはZCを
：cに内分する点です。 となるので、
より、 一方、
①，②より、MとNは一致し、3直線AX，BY，CZはNで交わります。
よって、B，N，Yは一直線上の点です。
よって、C，N，Zは一直線上の点です。
以上より、3直線AX，BY，CZはNで交わります。
問2 問題文中の
･･･(＊)を導いておきます。APの延長とBCとの交点をLとします。Lは、BCを
：
に内分する点です。よって、 Pは、ALを
：
に内分する点です。よって、 
，
，
とすると、中心角は円周角の2倍になるので、
，
，
△ABCの外接円の半径をRとすると、△QBC，△QCA，△QABの面積
，
，
は、同様に、
以上より、(＊)を用いて、
......[答]
問3 問2より、
(∵ 
)②を用いて、
点NがQとGを通る直線上にあるとき、kを実数として、
より、 
，
両式よりkを消去して、
，
より、展開して整理すると、
③を用いて、
分母を払って、
第1項のカッコ内は、
第2項の中カッコ内は、
よって、
カッコ内を整理して、
中カッコ内を
で割ると、割り切れて、商は、
(因数定理を参照) これをさらに
で割ると、割り切れて、商は、
，結局、 
より、
または 
または 
よって、△ABCは二等辺三角形です。
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･･･②
，
，
より、
，
，
･･･③ 
について、
