(1) において常に不等式が成り立つような実数bの値の範囲はである。

をを満たす

でない実数とし、数列を、

　()

(2) が成り立つことを証明しなさい。

(3) である。

(4) を，n，bを用いて表すと、となる。

(5) である。

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(1) bが両辺に別れていてはやりにくいので、で割って、1つだけにします。

のとき、与不等式は、となり、常に成立します。
のとき、与不等式両辺をで割ると、

･･･�@　または 　･･･�A

�@より、
においてより、これが常に成立するためには、，つまり、　･･･�B
�Aより、
においてより、これが常に成立するためには、，つまり、　･･･�C
と�B，�Cより、　 ......[シ]，1 ......[ス]

(2) かつのとき、が常に成立するので、

において、より、

　･･･�D

より、�Dは、
よって、　･･･�E
，はさみうちの原理より、
以上より、かつのとき、です。(証明終)

(3) かつのとき、

......[セ]

(4)

これを、と見て、

も、うまく行きません。
より、なので、

これで、を部分積分を用いてで表そう、という最初の思惑とは異なりますが、項番号を1つずらせて、

......[ソ]　･･･�F

(5) (2)を利用するのだろう、ということで、(4)で求めた漸化式を用いて、がどうなるかを調べてみます。�Fの両辺にをかけて、

　･･･�G

感じをつかむために、としてみます。

　･･･(＊)　と仮定すると、�Gを用いて、

　･･･�H

よって、数学的帰納法より、となる自然数nに対して、(＊)が成立します。�Hの両辺にをかけると、

　･･･�I

かつのとき、�Eより、，ここで、とすると、より、
このとき、�Iでとすると、右辺→
はを満たすので、�Iでとして、とすると、[セ]より、

......[タ]

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