慶大理工数学'23年[4]
(1) において常に不等式が成り立つような実数bの値の範囲はである。
以下、bをを満たす0でない実数とし、数列を、
() で定義する。
(2) が成り立つことを証明しなさい。
(3) である。
(5) である。
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解答 (4)は漸化式を作るので、当然部分積分になりますが、ちょっと引っかかるかも知れません。
(1) bが両辺に別れていてはやりにくいので、で割って、1つだけにします。 のとき、与不等式は、となり、常に成立します。
のとき、与不等式両辺をで割ると、 @より、
においてより、これが常に成立するためには、,つまり、 ・・・B
Aより、
においてより、これが常に成立するためには、,つまり、 ・・・C
とB,Cより、 ......[シ],1 ......[ス]
において、より、 この左辺と右辺は、
より、Dは、
よって、 ・・・E
,はさみうちの原理より、
以上より、かつのとき、です。(証明終)
(3) かつのとき、 ......[セ] 注.とおいて置換積分すると、,x:のときt :より、 となるのですが、(2),(3)の定積分においては、t をそのままと書いています。はと書きます。こう書くと、定積分の上端と下端はと0のままでよいことになります。
(4) 漸化式を作ろう、ということで、を部分積分するのですが、これを、 と見て、
とすると破綻します。
これで、を部分積分を用いてで表そう、という最初の思惑とは異なりますが、項番号を1つずらせて、 ......[ソ] ・・・F
(5) (2)を利用するのだろう、ということで、(4)で求めた漸化式を用いて、がどうなるかを調べてみます。Fの両辺にをかけて、 ・・・G 感じをつかむために、としてみます。 ・・・(*) と仮定すると、Gを用いて、 ・・・H よって、数学的帰納法より、となる自然数nに対して、(*)が成立します。Hの両辺にをかけると、 ・・・I かつのとき、Eより、,ここで、とすると、より、 (はさみうちの原理を参照)このとき、Iでとすると、右辺→
はを満たすので、Iでとして、とすると、[セ]より、 ......[タ]
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