東工大数学'08年前期[1]
正の実数a，bに対し、
で定義された2つの関数
と
のグラフが1点で接するとする。
(1) 接点の座標
をaを用いて表せ。また、bをaの関数として表せ。 (2) 
をみたすhに対し、直線
および2つの曲線
，
で囲まれる領域の面積を
とする。
をaで表せ。
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解答 ややこしい計算問題です。ありふれたテーマですが、慎重に計算しましょう。
は、証明しておくべきですが、全問一通り目を通して余力があれば、証明をつけておくようにしましょう。
(1) 
･･･① 
･･･②②の導関数は、
①と②が
で接するので、y座標同志が等しく、
･･･③
(接線の傾き)同志が等しく、
∴ 
･･･④ ③に、
，
を代入すると、 
･･･⑤よって、
......[答]⑤より、
(対数関数を参照) ∴ 
......[答]
(2) 
とおくと、 
とすると、
となります(この解が(1)の
)が、
より、
において、
は単調増加なので、
の解は
のみ、(1)より①と②が
において接するので、
，また、
において、
より
は単調減少で、
です。よって、
･･･⑥ここで、
とすると、
，
ですが、
が問題になります。
のとき、hの方が
よりも収束性が強いので、
になりそうですが、確かめておきます(なお、極限の公式を参照)。
においては、
なので、
を言うためには、0に近づく
を持ってきて、
の形にする必要があります。
の候補としては、
ではダメです。
において、
になってしまいます(
などを考えてみてください)。そこで、
という形の関数の最小値mを求めておき、
として、両辺に
をかけて、
という形を作ることを考えます。
を考えます。
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......[答]
をかけて、
)
より、
のとき、⑥より、