東工大数学'23年前期[3]
実数が書かれた3枚のカード
，
，
から、無作為に2枚のカードを順に選び、出た実数を順に実部と虚部にもつ複素数を得る操作を考える。正の整数nに対して、この操作をn回繰り返して得られるn個の複素数の積を
で表す。
(1) 
となる確率
を求めよ。 (2) 
が実数となる確率
を求めよ。
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解答 (2)はn回の操作の各回にできる複素数の2乗が全部実数であればよい、と錯覚し易いですが、
という具合に、実数でない複素数同士の積が実数になる場合を考慮する必要があります。
n回の操作の各回にできる複素数をαとします。
各回の操作のカードの引き方は、以下のように
通りあります。
・0，1と引くと、
です。
・0，
と引くと、
です。
・1，0と引くと、
です。
・1，
と引くと、
です。
・
，0と引くと、
です。
・
，1と引くと、
です。
(1) 
の各々について、
となり、各回の6通りのカードの引き方のうち、
は、1が2通り、
が2通り、2が2通りあります。 
は各回にできる複素数の絶対値の積です。
のとき、
は高々4で、カードの引き方にかかわらず
となるので、確率は
のとき、
となるのは、(ii) n回のうち
回
となり、1回だけ
または
となる(確率
)場合が、n回のうちどの1回かが
通りあり、 (iii) n回のうち
回
となり、2回、
または
、となる場合が、n回のうちどの2回かが
通りあり、 求める確率は、
(
のときも成立) .....[答]
(2) 
が実数かどうかだけを問題にしているので、
は確率には影響しないことに注意します。
の各々について、
は、 となります。6通りのαに対して、
，
，1，3の4通りの
が実数です。残る2通りの
について、極形式で表すと、 
とおくと、
より、
，
は各回の操作での
をかけあわせたもので、
，
(1の累乗根を参照)に注意すると、mを0以上の整数として、
の中で、βが
回かけあわされていれば、
は実数になります。βが
回、あるいは
回かけあわされている場合は、
は虚数になります。
そこで、n回操作後、
の中で、βが
回かけあわされている確率を
(
)，βが
回かけあわされている確率を
，βが
回かけあわされている確率を
とすると、
･･･①であって、
のとき、
が実数であるのが4通り、
が1通り、
が1通りで、
，
，
･･･②
回目で、
の中にβが
回、あるいは
回かけられているのは、
の中でβが
回かけられていて
のいずれかを
にかけるとき(確率
)、あるいは、
の中でβが
回かけあわされていて
を
にかけるとき(確率
)、あるいは、
の中でβが
回かけあわされていて
を
にかけるとき(確率
)で、 ①より
を代入すると、 
と
をxとおくと、
･･･④
∴ 
③－④より、
より、
......[答]
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となる(確率
)場合が、
，
，
，
，
，
，公比
の