東大理系数学'11年前期[3]
Lを正定数とする。座標平面のx軸上の正の部分にある点P
に対し、原点Oを中心とし点Pを通る円周上を、Pから出発して反時計回りに道のりLだけ進んだ点をQ
と表す。
(1) 
，
を求めよ。 (2) 
の範囲の実数aに対し、積分 を求めよ。
(3) 極限
を求めよ。
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解答 積分の計算問題です。見慣れない形ですが置換積分により解決できます。
(1) 原点を中心とし点Pを通る円周の半径はt です。
とすると、弧PQの長さがLより、
(一般角を参照) ∴ 
これより、 
，
......[答]
∴ 
とおくと、
，θ：
のときu：
被積分関数を部分分数に分けます(分数関数の積分を参照)。とおくと、この右辺を変形して、
，
∴ 
∴ 
ここで、①が使えるように変形します。
よって、
......[答]
(3) 
......[答]
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，
(
より、
，
) ･･･①
のとき、θ：
において
，
とおきます
，
，
，
より