早大理工数学'07年[3]
曲線
と
で囲まれた図形のうち、
をみたす部分の面積を
とする(
)。以下の問に答えよ。
(1) 
をみたす定数p，qを求めよ。ただし、Cは積分定数である。 (2) 
の値を求めよ。 (3) 
の値を求めよ。 (4) 
を求めよ。
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解答 少々アレンジしてありますが、早大理工でも頻出の問題です。(1)がついているのは、部分積分させると、受験生が全滅状態になることを恐れてなのでしょうか？
面倒そうに見えますが、
は等比数列です。
(2) 
より、②を用いて、 
ここで、
･･･③∴ 
･･･④ 
......[答]
(3) 
ここで、
について、
とおくと、
，x：
のとき、t：
(置換積分、減衰振動関数を参照)
さらに、
であることに注意すると、
において、
において、
より、
(∵ ③)
(∵ ④) ･･･⑤
......[答]
......[答]
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で両辺を割って整理すると、
･･･①
(三角関数の合成を参照)
，
をみたす角。
，つまり、
であることが必要十分です。
，
......[答]
･･･②
は、初項
，公比
の等比数列。
