早大理工数学'26年[5]
関数
について、以下の問に答えよ。ただし、
は自然対数、eは自然対数の底を表す。必要ならば、
を用いてよい。
(1) 
の増減、極値を調べて、そのグラフをかけ。 (2) 実数aに対して、
とする。曲線
と直線
の共有点の個数は、aの値によってどのように変わるか調べよ。 (3) 曲線
と直線
の共有点の個数が1個のとき、曲線
，直線
および直線
で囲まれた部分をy軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
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解答 この問題は、微分・積分の基本問題なので落とせません。計算ミスにはくれぐれも注意してください。
のとき、
より、
のとき、
の増減表は以下のようになります。
は
において極小値
をとります。
のグラフは右図。
なので、
･･･③
とおくと、
とすると、
のとき、
より、
のとき、
の増減表は以下のようになります。
これより、
のグラフは右図のようになります。
と
を連立したときの解は、
と
を連立したときの解に一致するので、
のグラフより、曲線
と直線
の共有点の個数は、
のとき2個、
のとき1個、
のとき0個 ......[答]
(3) (2)より、曲線
と直線
の共有点の個数が1個のとき、
です。このとき、
は、
となり、
と
の共有点、即ち
と
の共有点は
で、ここで
と
は接します。
......[答]
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各問題の著作権は
出題大学に属します。なお、解答は、
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とすると、
∴ 
)
，
を連立すると
，直線
および直線
で囲まれた部分は、
に位置し、右図黄緑色着色部分です。
において
となる部分を
