名大物理'08年[1]
1．図1のように宇宙空間を進む探査機が、点Pで探査機からnモルのアルゴンガス(単原子分子気体、1モルの質量
)を、探査機の進む方向に瞬間的に噴射した。探査機は点Pで速さが
から
に減速され、その後、星1のまわりを等速円運動した。ここで、アルゴンガス噴射前の探査機の質量mは星1の質量
に比べ充分に小さいものとする。以下の問いに答えよ。
(1) 探査機が星1のまわりを半径hで等速円運動するための速さ
を求めよ。 (2) 噴射されたアルゴンガスの平均速度の大きさは、星1から見て
であった。探査機の速さを
から
に減速するために噴射されるアルゴンガスのモル数nを
，m，
，
，
を用いて表せ。ただし、噴射による探査機の質量変化も考慮せよ。 (3) 絶対温度Tのアルゴンガスにおける気体分子の熱運動の2乗平均速度
を、
，R，Tを用いて表せ。 
2．図2のように、質量
の星2と質量
の星3が、点Aを中心に、同じ角速度ω で等速円運動している。ここで、星2と星3の距離をL，点Aから星2までの距離を
とし、
とする。また、星2と星3以外の天体の影響は無視できるものとして以下の問いに答えよ。
(1) 星2と星3について、それぞれ遠心力と万有引力のつり合いの式をG，
，
，L，
，ω を用いて表せ。 
次に、質量mの探査機を操作し、図3のように、点Aと星3を結ぶ線分上に置き、点Aを中心とする半径xで、星2と星3と同じ角速度ω で等速円運動させた。ただし、探査機の質量mは星2，星3の質量に比べ充分に小さいものとし、探査機の操作に伴う質量mの変化は無視できるものとする。
(3) 探査機に働く遠心力
をm，ω，xを用いて表し、探査機に働く万有引力の合力
をG，m，
，
，L，
，xを用いて表せ。力の符号は点Aから星3の向きを正とする。 (4) 
とするとき、点Aと星3を結ぶ線分上では探査機に働く遠心力と万有引力の合力
がゼロとなる位置が
の範囲には1つある。その位置を求めるため、合力FをG，m，
，L，xを用いて表せ。さらに、
となるxが存在する範囲を次の(ア)～(ウ)の中から選び、その記号を記せ。
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解答 1．と2．は独立な問題になっています。2．(4)は、物理的な考察の余地もなく、まともに計算しては時間がかかります。勘で答えておく方が良いかも知れません。
1．(1) アルゴンガス噴出後の探査機の質量を
として、探査機が質量
の星1から受ける万有引力は、
，速さ
で等速円運動をしている探査機の加速度は
(2) 探査機のアルゴンガス噴出前の運動量は
，噴出後は質量がmから
となり速さが
となるので
です。 噴出されたアルゴンガスの運動量は
です。アルゴンガスの運動量が探査機の運動量と同じ向きであることに注意してください。
噴出前後の運動量保存より、 ∴ 
......[答]
(3) アボガドロ数(1モルの物質の分子数)を
として、アルゴンガス1分子あたりの質量は、1モルの質量が
なので、
，速さ
で運動するアルゴンガス1分子の運動エネルギーは、
です。アルゴンガスは単原子分子理想気体であって、これは、ボルツマン定数をkとして
に等しく(気体分子運動論を参照)、 
より、
......[答]
2．(1) 星2と星3の間に働く万有引力は
(2) ①，②より、
∴ 
......[答]①に代入すると、 ∴ 
......[答]
(3) 探査機に働く遠心力は正方向で、
......[答] 探査機と星2の距離は
なので、探査機が星2から受ける万有引力は負方向で、
探査機と星3の距離は
なので、探査機が星3から受ける万有引力は正方向で、
よって、万有引力の合力は、 
......[答]
(4) 
を(2)の結果に代入すると、 
......[答]
として、
で割ると、右辺を
とおいて、
のとき、
とxの大小関係を調べてみます。 よって、
となるxが存在する範囲は、
であって、(ウ) ......[答] 追記．問題文に、Fがゼロとなる位置が
の範囲には1つある、と書いてあるので、これで良いわけですが、
のグラフが
にからみつくように変化する複雑な関数だと、上記の事実だけからは何とも言えないことになります。ここでは、一応
の変化を確かめておくことにします。 
において、
，
なので、
です。よって、この範囲で
は単調減少です(関数の増減を参照)。xの方は単調増加なので、であれば、
において、方程式
は、
の範囲にただ1つの解をもつと断定できます。
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を
，
，Lを用いて表し、角速度ω をG，
，
，Lを用いて表せ。
(イ) 
(ウ) 
のとき
，
のとき
......[
なので、星
･･･①
･･･②