愛媛大物理'09年[4]
図1(a)のように、断熱材からなる内径断面積
の円筒型シリンダーと質量
のピストンが水平に設置してある。ピストンはシリンダー内を円滑に動き、シリンダーとの間の摩擦は無視できる。シリンダーの両端にはピストンにより隔たれた気密性の高い2つの空間(A室およびB室)が存在し、それぞれに気体を封入できる。また、B室には通電加熱によるヒーターが設置してあり、必要に応じて気体を加熱できる。
いま、単原子分子からなる理想気体を両室に1モルずつ封入したとき、ピストンはシリンダーの中央でつり合い、そのときの両室の圧力、体積、温度は、それぞれ
，
，
であった。シリンダーの中央を座標原点Oとして、A室側へのピストンの変位
を正とし、ピストンの運動は可逆的になされるものとして、以下の問いに答えよ。
問1 外部と熱のやりとりを行わない気体の状態変化を断熱変化と呼ぶ。その際、圧力Pと体積Vの間には、気体の種類に依存する指数b (
)を用いて、次の関係が成り立つことが知られている。 いま、図1(b)のように、ピストンを原点OからA室側へ距離
だけゆっくり移動させた後、静かに解放すると、ピストンは単振動を始めた。ピストンの運動について述べた以下の文章中の空白を適当な数字あるいは式で埋めよ。ただし、解答に用いることができる文字は、S，M，
，
，b，x，dである。
ピストンが任意の変位
のときのA室の体積をxを用いて表すと、 (1) 
となり、このときのA室の圧力は (2) 
と表される。一般に、変数
が1に比べて十分小さいとき、
の近似式が成り立つとこが知られている。いま、初期状態からの体積変化量が
に比べて十分小さいことを考慮すると、(2)は (3) 
のように近似することができる。この近似のもとに、B室の圧力は (4) 
となる。これら2つの圧力を用い、ピストンの加速度を
として運動方程式を立てると、
(5) となる。得られた運動方程式から、ピストンが角振動数 (6) 
の単振動を行い、周期
は (7) 
であることがわかる。また、ピストンは、xが (8) 
のときに最大の速さ (9) 
になる。
問2 次に、ピストンをA室側へ大きく移動させ、A室の体積を
にした。 (1) ピストンを移動した後のA室およびB室の圧力および温度を求めよ。
再び、ピストンを原点Oで静止した状態に戻し、B室に設置されているヒーターに通電することにより、B室内の気体を一様に加熱した。加熱の進行に伴いピストンはゆっくりとA室側へ移動し、A室の体積がちょうど
になった時点で加熱を止めた。 (2) 加熱後のA室およびB室の圧力および温度を求めよ。
(3) ヒーターからB室に投入された熱量、ならびにピストンを通じてB室の気体がした仕事を求めよ。ただし、必要であれば気体の熱容量
を用いよ。
問3 A室内は単原子分子の理想気体のまま、B室内を1モルの二原子分子からなる理想気体に置き換えた。B室内の気体を置き換えたほかは、問1とすべて同じ条件のもとで微小振動させた。次の問いに答えよ。なお、単原子分子および二原子分子からなる理想気体の指数bは、それぞれ、
，
である。 
(1) A室およびB室の圧力と体積の関係を表した図2のグラフの中から、最も適当なものを1つ選べ。
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解答 空気バネによる単振動の問題です。
問1 A室、B室の気体は外部と熱のやりとりをしないので、単振動している間の気体の変化は断熱変化です。 (1) ピストンが
だけ正方向(A側)に移動すると、A室の体積は、
から
減少して、
となります。 
......[答](2) このときのA室の圧力を
として、A室の圧力と体積は、
→
と変化するので、問題文の関係式(ポアッソンの関係式)：
(bは比熱比です)より、 
･･･①∴ 
......[答] (3) 
初期状態からの体積変化量が
に比べて十分小さいので、
より、 
......[答](4) このときのB室の圧力を
として、B室の圧力と体積は、
→
と変化するので、①式の右辺のマイナスをプラスに変えた式が成立し、
では、(3)の結果の
の前のプラスがマイナスに変わり、 
......[答](5) ピストンに働く力は
で、ピストンの運動方程式： (3)，(4)の結果を用いて、
･･･②
......[答](6) ②より、
これは、角振動数
の単振動を表します。
......[答] (7) 周期
は、 
......[答](8) ②式は、単振動の振動中心が
であることを意味し、
においてピストンは最大の速さになります。 0 ......[答]
(9) 振動中心が
であって、最初に
でピストンを静かに離したところから、単振動の振幅はdです。最大の速さ
は、単振動の公式より、 
......[答]
問2(1) A室、B室の最初の状態での状態方程式：
･･･③ (
は気体定数) ピストン移動後のA室，B室の圧力を
，
，絶対温度を
，
とします。ピストン移動後について、A室の状態方程式：
･･･④B室の状態方程式：
･･･⑤
④÷③より、
･･･⑥
⑤÷③より、
･･･⑦外力をかけて(つまり、ピストンにかかる力について、つり合いは成立していない)「ピストンをA室側へ大きく移動させ」という問題文の記述から、この間の変化は断熱変化と考えられます。断熱変化の関係式：
より、 
，
∴ 
，
......[答]⑥，⑦より、 
，
......[答](2) 加熱後のA室，B室の圧力を
，
，絶対温度を
，
とします。④、⑤はそのまま成立し、⑥，⑦も同じです。また、A室については、断熱変化のまま(B室は熱を加えるので断熱変化ではありません)なので、 
，
......[答]ですが、今度は、ピストンに外力を加えるわけではないので、ピストンに働く力のつり合いが成立し、 ∴ 
B室の気体がした仕事
は、 
......[答]B室の内部エネルギーの変化
は、 熱力学第1法則より、ヒーターから
B室に投入された熱量
は、 
......[答]注．熱容量Cの単位
に注意してください。定積モル比熱
の単位は
で、nモルの気体の内部エネルギーは
です。ここでは、
であり、A室、B室の気体は1モルなので
であり、
，
として考えます。
もちろん、単原子分子理想気体なので、
としてもOKですが、文字Cの使用については、問3の問題文中で比熱比の値を指定しているので、
の値を未知だとしても解答できるように、出題者が配慮したものと思われます。
問3 問1と同じ条件なので、微小振動している間、A室，B室とも、気体は断熱変化します。A室を単原子分子、B室を二原子分子とするので、②式のbを、A室については
，B室については
にする必要があり、②は、 
･･･⑧角振動数は
，周期は
･･･⑨A室、B室ともに単原子分子理想気体であれば、②で
とし、 角振動数は
，周期は
･･･⑩ (1) A室、B室それぞれについて、圧力をP，体積をVとして、断熱変化の関係式：
より、 A室：
･･･⑪B室：
･･･⑫ ⑪，⑫とも、
のとき
ですが、
のとき、A室では
，B室では
，
より、A室の方が圧力が大きくなります。
のとき、A室では
，B室では
，
より、B室の方が圧力が大きくなります。
こうなっているグラフは、(ウ) ......[答] (2) ⑨，⑩を見ると、
より、⑨の周期の方が⑩の周期よりも長いことがわかります。また、⑧より、片方を二原子分子に変えても、振動中心は
のまま変わりません。こうなっているグラフは、(ア) ......[答]
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(2) ピストンの振動の様子を表した図3のグラフの中から、最も適切なものを1つ選べ。ただし、図3中の
，
，
は周期を表し、このうち
は問1(7)の周期を表す。
，
......[答]
，
，
として、