京大物理'02年前期[1]

京大物理'02年前期[1]

次の文を読んで、　　に適した式をそれぞれの解答欄に記入せよ。なお、　　はすでに　　で与えられたものと同じものを表す。

長さlの質量の無視できるゴムひもの両端に、2つの小球AおよびBがついている。小球AおよびBの直径は無視できるほど十分小さく、質量はいずれもmとし、重力加速度をgとする。また、このゴムひもは、引き伸ばされた状態ではフックの法則に基づく復元力が働くが、細くてやわらかいために、たるんだ状態では小球の運動を妨げないものとする。
　図1のように、天井のO点に小球Bを固定し、小球Aを静かにつるしたとき、ゴムひもは

だけ伸びた。このゴムひもが自然長からxだけ引き伸ばされたとき、ゴムひもには

の復元力が働く。

(1) 小球Aを小球Bと同じ位置Oまで持ち上げ、小球Bを固定したまま小球Aのみをそのまま自由落下させた。このとき、落下する小球Aが到達する最下端の位置は、天井から　イ　だけ下方となる。小球Aは　イ　の位置から、ゴムひもの復元力　ロ　によって上昇運動をはじめる。その上昇運動において、小球Aは天井からlの位置を速さ　ハ　で通過するが、その瞬間に、天井のO点で固定していた小球Bを静かに解放した。その後、小球AとBは天井から　ニ　の位置で衝突するが、小球Bを解放してから衝突するまでに要する時間は　ホ　である。この衝突が完全非弾性衝突(反発係数

)であり、衝突後は完全にひとつの小球として運動する場合に、衝突してからこの小球が天井から鉛直距離で

だけ下にある床に落下するまでに要する時間は　ヘ　である。

(2) 次に、(1)と同様の手順でO点から小球Aを自由落下させ、　ヘ　の位置に小球Aが到達した瞬間に、O点で固定していた小球Bを静かに解放した。この解放した瞬間においては、小球AとBはゴムひもの復元力　ロ　によって、お互いに引き寄せられている。自由落下している仮想的な観測者からこの2つの小球を見ると、どちらの小球にも重力が働かず、ゴムひもの復元力のみにより運動しているように見える。したがって、小球Bを解放した瞬間からゴムひもが自然長lに戻るまでに要する時間は　ト　であり、その後、小球AとBが衝突するまでにはさらに　チ　だけ時間がかかる。その衝突する位置は天井から　リ　の位置となる。

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解答　(1)(イ) 題意より自然長より長いときのゴムひものばね定数は

と考えられます。