京大物理'07年前期[1]

京大物理'07年前期[1]

次の文を読んで、　　には適した式を、　　には適切な語句を、{　　}には図3の6つのグラフから適切なものを選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。また、問1，問2では指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄の枠内に記入せよ。

図1のように、滑らかな面の上で静止している質量

の物体1に向かって、質量

の物体2を初速

で打ち出したとき、衝突によって物体1が受ける衝撃が、緩衝装置によってどのように弱められるかを考える。物体の大きさは無視でき、運動は図の左右一方向のみとし、空気抵抗や面からの摩擦力はないものとする。緩衝装置のモデルとして、図2のような3種類を考える。モデル(a)は、ばね定数Kのばねである。モデル(b)では、自由に空気が出入りできる穴のあるピストンがシリンダー内を動き、シリンダーから一定の大きさFの動摩擦力を受けるものとする。モデル(c)では、穴のあるピストンが、油のつまったシリンダー内を動き、シリンダーに対する相対的な速さに定数Cを乗じた大きさの粘性力を受けるものとする。衝突の間、これらの緩衝装置が縮みきってしまうことはないとする。以下、緩衝装置の質量

は

および

に比べて十分小さいものとし、力、速度、加速度などのベクトル量は、図の右方向を正として表す。

(1) 緩衝装置の右端と左端がそれぞれ物体1と物体2におよぼす力を

，

とする。まず、緩衝装置の全質量

が

，

に比べ十分に小さいときは、

としてよいことを以下で確認しておこう。　ア　の法則より、緩衝装置が物体1と物体2から受ける力はそれぞれ

，

である。よって緩衝装置が受ける外力の和は

であり、それは緩衝装置の重心の加速度に　イ　をかけたものに等しい。緩衝装置の重心の加速度は物体1や物体2の加速度と同程度の大きさであるので、

が

および

に比べて十分小さいとき、

は

および

に比べて無視してよいのである。

(2) 次に、物体1と物体2の相対運動について考える。(1)で確認したことより、物体1と物体2の加速度を

，

とし、

をfとおくと、運動方程式はそれぞれ

，

と書ける。この2つの式の両辺をそれぞれ

，

で割り、それらの差をとると、

　ウ　となる。この式は、

が物体2に対する物体1の相対運動の加速度aであることに注意すると、

という形に書ける。ここで、mは換算質量と呼ばれ、

と

により　エ　と表される。すなわち、質量が

と

の2つの物体の相対運動は、質量がmの1つの物体の運動と同じ方程式にしたがう。

(3)　以上のことから、モデル(a)，(b)，(c)の各場合に物体1が受ける力を時間の関数としてグラフに示すと、それぞれ図3の{　オ　}，{　カ　}，{　キ　}となる。モデル(a)，(b)，(c)の各場合に、物体1が力を受けている時間はそれぞれ　ク　，　ケ　，無限大であり、力の最大値はそれぞれ　コ　，　サ　，　シ　である。(　ク　～　シ　ではmを用いてもよい。必要ならば、物体が速度に比例し速度と逆向きの力を受ける場合、速度の絶対値は時間とともに指数関数的に減少することを用いよ。)

問1　モデル(a)の場合、衝突後十分な時間がたったあとの物体1の速度は、ばね定数Kに依存しない。その理由を簡潔に述べよ。

問2　静止している自動車に別の自動車が追突した。乗客は幸い無事であったが、自動車は2台ともかなりつぶれてしまった。このとき、静止していた自動車の乗客が衝突によって感じる、水平方向の加速度の最大値はいくらか。解答にいたる過程を説明したうえで、有効数字2けたで解答せよ。自動車の質量はいずれも