京大物理'20年前期[2]
次の文章を読んで、
に適した式または数値を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、
はすでに
で与えられたものと同じものを表す。また、問1～問3では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。ただし、円周率をπとする。
(1) 図1のように、自己インダクタンスLのコイル、スイッチ、電気容量Cのコンデンサーからなる回路がある。コンデンサーに蓄えられる電気量Qとコンデンサーの両端に現れる電圧Vの間には
の関係が成り立つ。コンデンサーに初期の電気量
(
)を与え、スイッチを閉じたところ、周期
の電気振動が発生した。このとき、図1のコイルを流れる矢印の方向を正とした電流Iについて、微小時間
の間の微小変化を
とすると、コイルの誘導起電力とコンデンサーの電圧Vの間には 
(i)の関係がある。スイッチを閉じた後、電流Iは初期値0から負方向に流れ始める。
また、コンデンサーに蓄えられた電気量Qと電圧Vの微小変化
，
の間に、
の関係がある。電気量Qは電流Iが負の場合は減少し、
が成り立つので、微小時間
の間の電圧Vの微小変化
と電流Iの間には 
(ii)
(2) 図2のように、電圧Eの直流電源、自己インダクタンスLのコイル、スイッチ、抵抗値rの抵抗、ダイオード、電気容量Cのコンデンサーからなる回路がある。ダイオードは理想的な整流作用をもつとし、矢印で示した順方向の抵抗は0、逆方向の抵抗は無限大とする。
(iii)の関係がある。式(iii)は式(i)，(ii)と同じ形をしているため、初期値
，
の電気振動が始まるが、ダイオードが存在するためにIは負にならず、図3のように時刻
に振動は停止する。
問1 コイルに蓄えられていた初期のエネルギー、電源から供給されるエネルギー、コンデンサーに蓄積されるエネルギーの関係から時刻
におけるコンデンサーの両端に現れる電圧を求め、Vの時間変化を図3と同様に描け。 
(3) 図2の回路から抵抗値rの抵抗を取り去り、抵抗値Rの抵抗を加えた図4の回路を、電源と抵抗を直接接続した図5の回路と比較してみよう。ただし、図4の回路ではスイッチを微小時間
だけ閉じ、その後微小時間
だけ開ける操作を微小時間
で周期的にくりかえすものとする。また、微小時間
の間のコイルを流れる電流I，コンデンサーの両端に現れる電圧Vの微小変化をそれぞれ
，
，微小時間
の間のI，Vの微小変化をそれぞれ
，
とする。 スイッチが閉じた状態では、電圧Vを正とするとダイオードに電流は流れず、電源の電圧Eにより電流Iは増加、コンデンサーは抵抗Rを通して放電し
(iv)の関係が成立する。スイッチが開いた状態では、電流Iを正とするとダイオードに電流が流れ
(v)の関係が成立する。
十分時間がたち、I，Vが微小時間Tで周期的に変化する定常状態になったときの1周期
の間の電流Iの変化は図6のようになった。ただし、スイッチを閉じた瞬間を
とし、そのときの電流Iと電圧Vをそれぞれ、
，
とおく。また、定常状態の
，
，
，
は、式(iv)，(v)において
，
を代入することにより、
，
を用いて表現できるものとする。
問2 定常状態になったときの1周期では
，
が成り立つ。
のとき、電圧
，電流
をα，E，Rのうち必要なものを用いて表せ。また、
の場合の電圧Vの変化を、図6を参考にE，C，R，Tのうち必要なものを用いて描け。
問3 問2で得られたように、図4の回路は電源の電圧Eよりも大きな電圧Vを作り出すことができる。ここで図4と図5の抵抗で消費される電力を考える。コンデンサーの両端に現れる電圧Vは、
，
が
より十分小さいとき、
の一定値とみなせる。この場合、
のとき、図4の抵抗で消費される電力は図5の抵抗で消費される電力の何倍になるか、αを用いて答えよ。
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解答 昇圧チョッパ回路と呼ばれる実用回路を扱った問題です。問題文中にヒントが書かれているので、問題文をよく読んで解答しましょう。
よって、
......[答] (コイルを誘導起電力
と考えれば、
となります) (ロ) 
，
(コンデンサーを参照)より、
......[答] (ハ) 電気振動において、(イ)の結果より、電流Iが0から負方向に流れて最小値になるとき、
は負の最小値から増加して0になり、電圧Vは最大値から減少して0になります。よって、VはIに対して
周期遅れます(振動の1周期は、0から増大して最大値までが
周期、最大値から減少して0までが
周期、0から減少して最小値までが
周期、最小値から増大して0までが
周期)。位相の遅れは
......[答] 図1の振動回路で、
とすると、 となるので、VはIに対して
だけ位相が遅れる、と考えることもできます。 (ニ) コイルの電流が最大値
のときと、コンデンサーの電荷が最大のときとのエネルギー保存より(振動回路を参照)、 
∴ 
......[答]
(2)(ホ) 十分長い時間スイッチを閉じると、コイルの誘導起電力は消滅し(コイルは導線と同じ、コイルの過渡現象を参照)、ダイオードには電流が流れなくなるのですが、このときの回路は、電池Eに抵抗rが接続されているものと等価です。コイルに流れる電流はオームの法則より、
......[答] (ヘ) スイッチを開いた後、電流の流れる経路に沿って、電圧降下は、コイルの
とコンデンサー両端の電圧V，起電力はE，キルヒホッフの第2法則より、 
∴ 
......[答] (問題文中の
，I減少の記述に注意)(ト) Eは定数なので、(ロ)と同様に、
......[答] (チ) 図3の
におけるIの変化は電気振動の
周期を示しています。よって、 
......[答]
問1 コイルに蓄えられていた初期のエネルギーは
，スイッチを開く前にコンデンサーは電圧Eで充電されていたので、コンデンサーが時刻
に蓄えていた電気量は
です。時刻
におけるコンデンサー両端の電圧を
とすると、このときのコンデンサーの電気量は
で、電源が供給した電気量は
，電源が供給したエネルギーは
です。コンデンサーの時刻
における静電エネルギーは
，時刻
における静電エネルギーは
です。これらの間のエネルギー保存(振動回路を参照)より、 ∴ 
(ホ)より、
，また問題文にある通り、コンデンサーが充電されて、
となるので、 
......[答]Vの時間変化のグラフは右図。
(3) ここでは、
，
は
の間の変化量、
，
は
の間の変化量であって、
，
，
，
がある瞬間における電流、電圧の値、と勘違いしないように注意します。 (リ) スイッチが閉じた状態で
のとき、ダイオードの左右は別々に動作し、キルヒホッフ第2法則より、
......[答] (ヌ) オームの法則より、
の間のコンデンサーの電気量の減少分
が電流
になるので、 
......[答](ル) スイッチが開いた状態で、電流が流れる経路に沿って、起電力はE，電圧降下はコイルで
，並列接続されたコンデンサーと抵抗でV，キルヒホッフの第2法則より、 
∴ 
.....[答](ヲ) 時間
の間に、ダイオードを通して流れ込んだ電流Iは、コンデンサーに流れ込んで電気量を増やす分の
と抵抗を流れる電流
の和になるので、 
∴ 
......[答]
問2 問題文中の式(iv)(リ)より、
，式(v)(ル)で
として(問題文の記述より、
におけるVは、
における
に一致)、
，
より、 ∴ 
......[答] ･･･①
式(iv)(ヌ)で
(
において
)として、
･･･②
式(v)(ヲ)で
において、
，
として、
より、 ①を用いて、
......[答]注．上記で、時刻
における電流、電圧は、
(
)，
(
)です。 電圧Vの変化は右図。
問3 図5では、抵抗で消費される電力は、
･･･③ 図4では、抵抗で消費される電力は問2の
の結果を用いて、 
･･･④よって、④は③の
倍 ......[答]
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から減少し始める。この振動において、VはIに対して
だけ位相が遅れる。また、Iの最大値は
である。
である。次に、時刻
にスイッチを開けた。その直後のコイルに流れる電流
は
である。コンデンサーが、時刻
にスイッチを開ける前に電源と等しい電圧Eで充電されていた場合を考える。コンデンサーの両端に現れる電圧VのEからの変化分を
とおくと、スイッチを開けた直後の
の値は0である。スイッチを開けた後、ダイオードに電流が流れ、コンデンサーが充電されるとともに、
は正となり、Iは減少し始める。微小時間
の間のIの微小変化
，
の微小変化
の間には
のとき、①より、
，②と
より、
，
のとき、②より、
，コンデンサーで
