東工大物理'06年前期[2]
十分な長さを持つ水平な円筒状シリンダー内に、なめらかに動く断面積A[
]のピストンがあり、内部に単原子分子の理想気体が閉じこめられている。シリンダーは温度が調節できるよう熱源に接触している。また、ピストンには、シリンダーの中心軸上を通る重さの無視できる糸で、滑車を用いておもりをつり下げることができる。周囲の圧力を
[Pa]，重力加速度をg[
]とする。
[A] 図1のように、熱源の温度がT[K]，おもりをつるしていない状態では、気体の温度はT[K}，体積は
[
]，圧力は周囲の圧力と等しく
[Pa]であり、これを状態0とする。内部の気体の温度が変化しないようにゆっくりとおもりm[kg]をつるすと、ピストンはある位置で静止し状態1となった。次におもりをつるしたまま、熱源の温度を十分時間をかけて
[K]へ上昇させて状態2とした。(a) 状態1における気体の圧力
[Pa]と状態2における気体の体積
[
]を求めよ。また、状態1，状態2を解答欄の圧力P-体積Vグラフにそれぞれ点
，
として示し、状態0と状態1の圧力差を記入せよ。ただし、解答欄の点
は状態0を、破線はTおよび
の等温線を示している。 (b) 状態1から状態2への過程で気体が外部にした仕事
[J]，および熱源からシリンダー内の気体へ入った熱量
[J]を求めよ。 [B] 熱源の温度をTにし、おもりをはずして気体を状態0に戻した。
[C] 図2ように、シリンダーとピストンを体積の無視できるばね定数k[
]のばねで連結し、熱源の温度をTにした。おもりをつるしていない状態では、気体の温度、圧力、体積は状態0と同じであり、これを状態3とする。ここから、内部の気体の温度が変化しないようにゆっくりとおもりmをつるして状態4とし、次に、熱源の温度を十分時間をかけて
へ上昇させて状態5とした。(d) 状態3から状態4への体積変化を
[
]として、状態4における気体の圧力
[Pa]を求めよ。
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解答 [B](c)で、力のつりあいが崩れたときに、シリンダー内の気体の圧力をピストンにかかる力に加えなくて良いのか、断熱変化で考えるべきなのではないか、どうも、しっくり来ないのですが、問題文の書き方からして、
と考えるしかなさそうです。
シリンダー内の気体の量をn[mol]，気体定数をR[
]とします。
[A](a) 状態1においてピストンには、シリンダー内の気体の圧力による右向きの力
，大気圧による左向きの力
，右向きに糸を通しておもりに働く重力
がかかっています。これらの力のつり合いより、 ∴ 
[Pa] ......[答]状態0における状態方程式は、
･･･①
状態1における状態方程式は、
･･･②
状態1から状態2までの過程は、ピストンに働く力のつりあいが成立したままの変化なので、定圧変化です。よって、状態2における圧力も
です。
状態2における状態方程式は、
･･･③
①，②より(またはボイルの法則より)、 ∴ 
[
] ......[答]
，
および、状態0と状態1の圧力差、
は、右図の通り。
(b) 状態1から状態2への過程で気体が外部にした仕事
は、
，
を結ぶP-VグラフとV軸で挟まれた部分の面積になります。①，②，③より、 
[J] ......[答]
[J] ......[答]
[B](c) シリンダー内の気体の圧力をPとします。ピストンに働く力のつり合いより、
∴ 
･･･④
[kg]のときには、力のつり合い④が成立していましたが、
[kg]のときには、力のつり合いが成立しないということは、
のときには、シリンダー内の気体がピストンに圧力を及ぼして、
だったのに、
のときには、ピストンが右に動き出したために、シリンダー内の気体がピストンに力を及ぼすことができなくなり、ピストンに働く力の合力が右向き、つまり、
となった、ということです。
のとき、
より、 
[Pa]
のとき、
より、
[Pa]以上より、
......[答]
[C](d) 状態4において、ピストンに働く力は、シリンダー内の気体の圧力による右向きの力
，大気圧による左向きの力
，ばねの伸びが
で、ばねが左向きに引く力
，右向きに糸を通しておもりに働く重力
がかかっています。これらの力のつり合いより、 ∴ 
[Pa] ......[答] 状態4より状態5に至る過程において、体積をV，圧力をPとすると、ばねの伸びは
となり、ピストンに働く力のつり合いの式は、 ∴ 
･･･⑤
これより、状態4から状態5に至る過程のP-Vグラフは直線で、Vの係数を見ると、
，
を通る直線の傾きは、
[
] ......[答]
，
を通る直線上では、圧力は
で一定なので、⑤において、
として、
より、 ∴ 交点の体積は、
[
] ......[答]
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]，g = 9.80[
]とし、
がとり得る値の範囲を求めよ。
，
を再び示し、状態4，状態5をそれぞれ点
，
として示せ。また、
，
を通る直線の傾き、および
，
を通る直線と
，
を通る直線の交点の体積を求めよ。ただし、解答欄の点
は状態3を、破線はTおよび
の等温線を示している。
(e) 
，
は右図。
