東工大物理'09年前期[1]
質量がmである2つの小さな物体AとBを、自然長L，ばね定数kの重さが無視できるばねの両端につける。それを、物体Aが鉛直な壁に接するように、水平な床の上に置く。図に示すように、物体Bに力を加えてばねを自然長から長さlだけゆっくり縮め、瞬時に力を除く。物体Aが壁から離れた後、ばねの中点Pから見て、物体Aと物体Bはそれぞれ単振動する。物体の運動に関する以下の問いに答えよ。ただし、床と壁は平らでなめらかである。
(a) 物体Aが壁から離れるときの、物体Bの速さ
を求めよ。 (b) 物体Aが壁から離れた直後の、ばねの中点Pの速さ
を
を用いて表せ。 (c) 物体Aが壁から離れる時刻を
とし、その後、ばねの長さがはじめて自然長Lになる時刻を
とする。
を求めよ。 (d) 時刻
の後、ばねの長さが次に自然長Lになる時刻を
とする。時刻
におけるばねの長さ
をLとlを用いて表せ。 (e) 時刻
における物体Aの速さ
を求めよ。 (f) 時刻
に、物体Bに水平方向の撃力を加えたところ、ばねの中点Pが静止した。撃力とは極めて短い時間に物体に作用する力である。撃力の力積の大きさIを
を用いて表せ。
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解答 東工大の力学の問題としては軽めです。問題文は、ばねの中点から見た相対運動として考えるように書かれているので、それに即して考えてみます。
(a) 物体Aの最初の位置を原点にとってx軸を考え、物体Bの位置をxとします。ばねの縮みは
です。物体Bの加速度をaとして物体Bの運動方程式は、 これは、自然長の位置を振動中心とする角振動数
の単振動を表します。
物体Aは壁から離れる瞬間まで静止しています。物体Aに働く力は、ばねから受ける左向きの弾性力
と壁から受ける右向きの垂直抗力Nです。両者の力のつり合いより、 物体Aが壁から離れる瞬間に
となります。 ∴ 
従って、物体Aが壁から離れる瞬間に、ばねの長さは自然長で物体Bは単振動の振動中心にあり速さが最大になっています。最初に長さlだけ縮めて瞬時に力を除いたので単振動の振幅はlです。単振動の公式：
より、 
......[答]
∴ 
(b) 物体Aが壁から離れる瞬間以降の物体A，物体Bの位置を
，
とします。系の重心、つまり、ばねの中点Pの位置
は、 点Pの速度
は、 物体Aが壁から離れた直後に、
，
より、点Pの速さは、 
......[答]別解．物体Aと物体Bからなる系の質量は
で、系の重心はばねの中点にあり、重心の速さはばねの中点の速さ
になります。物体Aが壁から離れる瞬間の系の運動量は、物体Bの運動量(物体Aの運動量は0)と見れば
，重心の運動量と見れば
，両者は一致するので、 ∴ 
......[答]
(c) 物体Aが壁から離れる瞬間以降、ばねの長さは
です。右向きを正として、物体Aに働く力は
，物体Bに働く力は
です。物体A，物体Bの加速度を
，
として、 物体Aの運動方程式：
･･･①
物体Bの運動方程式：
･･･②
①＋②より、
よって、物体A＋物体Bの加速度は
で、系の重心，つまり、ばねの中心Pは、初速度
のまま等速度運動を続けます。ここで、 
･･･③同様に、
･･･④また、
は定数なので、 
，
①に③を、②に④を代入することにより、①，②を、
と変形することができます。これが、ばねの中点から見た物体A，物体Bの運動方程式です。これより、
よって、物体A，物体Bともに、重心から見た運動は、角振動数
の単振動になります。周期Tは、 ばねは自然長から一旦伸びてまた縮むのですが、
の後、はじめてばねが自然長になる時刻
は、 
......[答]別解．ばねをばねの中点Pで2つに分け、半分ずつのばねで物体A，物体Bが単振動を行う、と、考えると、半分のばねのばね定数は
になるので、単振動の周期は
，求める時刻はこの半分で、
(d) 
において、A，Bとも振動中心にあり、
，
となるので、単振動の振幅をCとして(物体Aと物体Bの運動は、ばねの中点に関して対称なので、両者の振幅は一致し、変位の符号が逆になります) 
･･･⑤
･･･⑥⑤を微分すると、
･･･⑧時刻
の後、次にばねが自然長になる時刻
は、
から半周期後で、 
を⑧に代入すると、時刻tにおけるばねの長さ
は、
(∵ 
)
......[答] (∵ ⑦)別解．
においては、ばねの縮みが最大値dとなり、物体Aは物体Bに対して静止の状態、つまり、物体Aと物体Bは同じ速度uになります。
との運動量保存より、 
，
(∵ (a))∴ 
，
(e) 
における物体Aの速さは、1周期前の
のときの速さに等しく、0 ......[答]
(f) 
に撃力を受ける直前に系の運動量は、物体Bの速度が
(
での速度に等しい)なので、
です。ばねの中点が静止する、ということは、系の運動量が0になる、ということです。従って、与える撃力の力積の大きさは、
......[答]
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とすると、このとき、
，
より、
･･･⑦
は、