東工大物理'10年前期[3]
シリンダーとなめらかに動くピストンからなる、熱容量が無視できる密封容器に、1モルの単原子分子理想気体(以後、気体という)を封入する。気体定数をRとし、気体の圧力と温度が、容器内で場所によらず同じ値をとるものとする。以下の問いに答えよ。ただし、温度は全て絶対温度で表すものとする。
[A] 容器の外には、気体と熱のやりとりをする物体などはないものとして、ピストンに加えた力による気体の状態変化を考える。状態変化前の気体の圧力、体積、温度をそれぞれ
，
，
とする。 (a) 気体を圧縮すると、体積が
，温度が
となった、この状態変化では、気体の圧力pと体積Vとの間に
の関係があることを利用し、bのみを用いてaを表せ。 (b) 問(a)の状態変化において、ピストンに加えた力が気体にした仕事をWとする。b，
，
のみを用いてWを表せ。
[B](c) 問(a)の状態変化の後、ピストンを固定し、熱容量
の物体を容器に接触させ、容器を通して物体と気体との間のみに熱が伝わるようにした。容器に接触する前の物体の温度を
とする。物体を容器に接触させてしばらくすると、気体と物体が同じ温度
になった。bとxのみを用いてcを表せ。 (d) 一方、問(a)の状態変化の後、熱容量
の物体と容器を接触させると同時に、気体の圧力を一定に保つようにピストンを動かし、しばらくすると気体と物体が同じ温度になった。このときの気体の体積を
とするとき、bとxのみを用いてeを表せ。
[C](e) 問(d)の状態変化の後、ピストンを固定し、温度
の熱源を物体に接触させた。気体、物体、熱源の三者の間で熱が伝わるものとする。熱源を物体に接触させてしばらくすると、気体、物体、熱源ともに温度
になった。このときの気体の圧力を
とするとき、bとxのみを用いてfを表せ。 (f) 問(e)の状態変化の後、気体、物体、熱源の温度を一定に保たせながら、ゆっくりとピストンを動かし、気体を膨張させた。この間に熱源と気体との間でやりとりされる熱量を
，ピストンを介して気体がする仕事を
とするとき、
の絶対値と
の絶対値の大小関係を答え、その理由を簡潔に記せ。
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解答 断熱変化と熱の移動をからめた問題です。液体・固体の質量を
，比熱を
として、熱容量は
となりますが、気体では、モル数を
，モル比熱を
として、熱容量は
になります。単原子分子理想気体のモル比熱Cは、定積変化であれば定積モル比熱
，定圧変化であれば定圧モル比熱
です。
･･･①状態変化後の圧力を
として、状態変化後の状態方程式： 
･･･②②÷①より、
∴ 
･･･③
問題文中の関係式：
(断熱変化を参照)を用いて、 ③より、
∴ 
∴ 
......[答] ピストンに加えた力が気体にした仕事Wは、①を用いて、
......[答]
[B](c) ピストンを固定するので、気体の変化は定積変化で、気体のモル比熱は定積モル比熱
となり、気体1モルの熱容量(定積モル比熱×モル数)も
です。物体から気体に移動した熱
が、気体が受け取った熱
に等しくなるので、 (d) 気体の変化が定圧変化になると、気体のモル比熱は定圧モル比熱
となり、気体1モルの熱容量も
です。 同じ温度
になった後の状態方程式： 
･･･④④÷②より、
，
･･･⑤物体から気体に移動した熱
が、気体が受け取った熱
に等しくなるので、 ∴ 
......[答]
[C](e) ピストンを固定しているので、気体の体積は
のままで、気体、物体、熱源ともに温度
になった状態における状態方程式： 
･･･⑥⑥÷①より、
......[答](f) 気体の温度が一定なので、気体の内部エネルギーの変化は0です。熱力学第一法則より、
の絶対値と
の絶対値は等しい。 ......[答]理由：温度一定で、気体の内部エネルギーが変化しないから。 ......[答]
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