の質量は，電気量は正の値である。

の質量はである。分裂の際の質量欠損はであるが、これは

�T　多数の原子核Xを作り、それらが分裂する前に、特定の運動エネルギーをもつものだけを集めることを考える。図1-2のように、座標原点にある標的素材に中性子ビームを照射し、核反応を起こすことで、多数のXが作られる。これらのXはの領域に様々な速さで、様々な方向に飛び出す。の領域に紙面に垂直に裏から表の向きに磁束密度Bの一様な磁場をかける。x軸に沿って紙面に垂直な壁を設け、x軸上に原点から距離aだけ離れた位置に小窓を開ける。壁に衝突することなく、壁面に垂直に小窓を通過する原子核だけを集める。以下の設問に答えよ。ただし、標的素材や小窓の大きさは長さaと比べて十分小さい。

(2) Xが分裂する前に、なるべく効率よくXを集めたい。原点で生成され、小窓を通る軌道に入ったXのうち、分裂前に小窓を通過する割合がf 以上になるために必要な磁束密度Bの下限値をf，m，q，a，Tの中から必要なものを用いて表せ。ここで収集されたXは十分多数で、とする。

(3) 集めたXを電場で減速させ、静止させた。図1-1のように、この後、Xは分裂する。分裂の際に、AとB以外の粒子は放射線は放出されず、質量欠損に対応するエネルギーがAとBの運動エネルギーとなる。このときのAとBのそれぞれの速さおよびをm，，cを用いて表せ。

�U　次に、図1-3に示す実験を考える。原子核Xを座標原点に、初速0で次々と注入する。ここではの領域だけに、x軸正の向きの一様な電場Eがかけられており、Xはx軸に沿って加速していく。には検出器があり、原子核の運動エネルギーと電気量、質量を測ることができる。電場Eは、となるように調整されている。ここでは、設問�T(3)におけるAの速さ(図1-1参照)であり、定数である。

Xの一部は検出器に入る前に様々な地点で分裂し、AとBを放つ。原子核の運動する面をxy平面にとり、以下では紙面垂直方向の速度は0とする。分裂時のXと同じ速さでx軸に沿って運動する観測者の系をX静止系と呼ぶ。X静止系では、分裂直後にAは速さで全ての方向に等しい確率で飛び出す。X静止系での分裂直後のAの速度ベクトルが、x軸となす角度をとする。このとき、分裂直後のX静止系でのAのx方向の速度はと表せる。以下の設問に答えよ。

(1) 図1-3にあるように、Xの分裂で生じたAの中には、一度検出器から遠ざかる方向に飛んだ後、転回して検出器に入るものがある。このような軌道を転回軌道と呼ぶ。Aが転回軌道をたどった上で、検出器に入射する条件を求めよう。以下の文のからに入る式を答えよ。以下の文中で指定された文字に加え、L，の中から必要なものを用いよ。

分裂時のXの検出器に対する速さをと表すと、分裂地点の関数としてと書ける。また、注入されてからまで移動する時間は、の代わりにαを用いて、と表せる。
転回軌道に入るためには、Aの初速度のx成分は負である必要があるので、に対して、αで表せる条件、が得られる。この条件から、そもそもでは転回軌道が実現しないことがわかる。Aが後方に飛んだ場合、の領域に入ると、検出器に到達することはない。これを避けるための条件は、αを用いてと表せる。のときには、Aはによらずの領域に入ることはない。

(2) 検出器に入ったAのうち、検出器のx軸上の点で検出されたものだけに着目する。測定される運動エネルギーの取りうる範囲をm，を用いて表せ。

(3) Xの注入を繰り返し、十分多数のAが検出された。検出されたAのうち、運動エネルギーがよりも小さい原子核の数の割合は、Xの半減期Tがと比べてはるかに短い場合と、逆にはるかに長い場合で、どちらが多くなると期待されるか、理由と共に答えよ。

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　高校物理の範囲全般に渡る総合問題です。の領域に入るのか入らないのか、転回するのかしないのか、検出器に到達するのかしないのか、がややこしく、検討する材料がと

�T　座標原点から飛び出したXが小窓にちょうど入るためには、Xが磁場による力を受けて、、半径の半円形の軌道を描くように運動すればよいわけです。この間のXの速さをvとすると、磁場がXに及ぼす力は、大きさで、フレミング左手の法則より、向きは円の中心に向かう向きです。

∴
小窓でのXの運動エネルギーは、

......[答]

(2) Xが半径の半円周軌道上を通過する時間t は、

注．のとき小窓を通過するXの割合は，のとき小窓を通過するXの割合はになります。

，　∴ ......[答]

(3) 分裂前のXの運動量のy成分は0，分裂後の運動量のy成分は、AがだとするとBは，運動量保存より、

　∴

質量欠損に対応するエネルギーが分裂後のA，Bの運動エネルギー，の和になるので、エネルギー保存より、

，
　∴ ， ......[答]

�U(1) xy座標系から見た分裂直後のAの速さ(検出器に対する速さ)をとすると、X静止系から見たAの相対速度のx成分がなので、

　∴ 　･･･�@

が定数なので、も一定で、を出発したXはx軸正の向きに一定の電気力を受けてx方向に等加速度運動をします。Xのx方向の運動方程式は、加速度をとして、

　∴ 　･･･�A

　∴ 　･･･�B

分裂時にXはx軸正方向に移動していたので、です。

......[ア]

注入されてからまで移動する時間をとすると、�Aと等加速度運動の公式より、

，

�Bよりなので、より、

　∴ ......[イ]

Aの初速度のx成分がであるために、�@より、

　∴ ......[ウ]

なので、，つまりになってしまうと、[ウ]を満たすが存在しなくなり、転回軌道が存在しなくなります。�Bより、

　∴ ......[エ]

分裂後後方に飛んだ場合、Aは、一定の電気力を受けてx軸負方向に等加速度運動をします。この加速度をとすると、x軸方向の運動方程式は、

，

転回する位置がだとして、この点でAの速さが0になるので、等加速度運動の公式より、

∴ 　･･･�C

Aがの領域に入らず検出器に到達するためには、電場が存在するのはの領域なので、でなければなりません。αを用いて答えるので�Bを用いて、

分裂後、後方に飛んだ場合を考えるので、です。また、と�@より、

∴ ......[オ]　･･･�D

注．問題文ではとなっているのですが、の場合、つまり、の場合も、ここに電場が存在するので、式の上では転回するはずです。

[オ]の結果で、となる場合には、[オ]の条件はとなり、の領域に入らない条件は、にかかわらず必ず成立します。よって、

　∴

�Bより、 ......[カ]

(2) 分裂直後にAの運動エネルギーは、�@より、です。検出器のx軸上に到達する、ということは、分裂直後のAの速度のy方向成分が0のもの、つまり、のもののみを考える、ということです。

分裂後で直接検出器に向かう場合、からまで電気力を受けるので、検出器到達時点でのAの運動エネルギーKは、

より，よって、Kはで最大値をとり、で最小値をとります。よって、

　･･･�E

分裂後で、転回してから検出器に向かう場合、�@より、

�Cより、転回点の位置は、

　･･･�F

転回する位置ではAの速さは0で、以後電気力を受けて検出器到達時点でのAの運動エネルギーKは、�F，�Bより、

�Dと[オ]の注．より、のとき、，つまり、であれば、の領域に入ることはなく、転回して検出器に向かいます。また、�Bにおいて、より、
よって、において、Kはαの単調減少関数で、において最大値をとり、においてより最小値をとります。よって、

　･･･�G

， ......[答]

(3) Xの半減期Tがに比べてはるかに小さいときは、分裂が早まり分裂位置はLに比べてはるかに小さくなり、分裂後直接検出器に向かい�Eを満たすAの割合が大きくなります。Tがに比べてはるかに大きいときは、�Eを満たすAの割合が減少し、運動エネルギーがよりも小さい原子核の割合が多くなります。 ......[答]

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