東大物理 '23 年前期 [1] 以下のような仮想的な不安定原子核 X を考える。 X の質量は X の半減期は T で、図 1-1 に示すように自発的に二つの原子核 A と B に分裂する。 A の質量は m ， B の質量は m と比べて十分小さいので、 X の質量は A と B の質量の和で近似されている。分裂後の電気量は A も B も共に q である。これらの原子核の運動について考えよう。 c に比べて十分遅い。原子核は質点として扱い、量子的な波動性は無視できる。個々の原子核は以下の問題文で与えられる電場や磁場による力だけを受け、他の原子核が作る電場や電流に伴う力は無視できる。加速度運動に伴う電磁波放射も無視できる。 Ⅰ 多数の原子核 X を作り、それらが分裂する前に、特定の運動エネルギーをもつものだけを集めることを考える。図 1-2 のように、座標原点にある標的素材に中性子ビームを照射し、核反応を起こすことで、多数の X が作られる。これらの X は B の一様な磁場をかける。 x 軸に沿って紙面に垂直な壁を設け、 x 軸上に原点から距離 a だけ離れた位置に小窓を開ける。壁に衝突することなく、壁面に垂直に小窓を通過する原子核だけを集める。以下の設問に答えよ。ただし、標的素材や小窓の大きさは長さ a と比べて十分小さい。
(1) 小窓から集められる個々の X の運動エネルギーを m ， q ， B ， a を用いて表せ。
(2) X が分裂する前に、なるべく効率よく X を集めたい。原点で生成され、小窓を通る軌道に入った X のうち、分裂前に小窓を通過する割合が f 以上になるために必要な磁束密度 B の下限値を f ， m ， q ， a ， T の中から必要なものを用いて表せ。ここで収集された X は十分多数で、
Ⅱ 次に、図 1-3 に示す実験を考える。原子核 X を座標原点に、初速 0 で次々と注入する。ここでは x 軸正の向きの一様な電場 E がかけられており、 X は x 軸に沿って加速していく。 E は、 (3) における A の速さ ( 図 1-1 参照 ) であり、定数である。 X の一部は検出器に入る前に様々な地点で分裂し、 A と B を放つ。原子核の運動する面を xy 平面にとり、以下では紙面垂直方向の速度は 0 とする。分裂時の X と同じ速さで x 軸に沿って運動する観測者の系を X 静止系と呼ぶ。 X 静止系では、分裂直後に A は速さ X 静止系での分裂直後の A の速度ベクトルが、 x 軸となす角度を X 静止系での A の x 方向の速度は (1) 図 1-3 にあるように、 X の分裂で生じた A の中には、一度検出器から遠ざかる方向に飛んだ後、転回して検出器に入るものがある。このような軌道を転回軌道と呼ぶ。 A が転回軌道をたどった上で、検出器に入射する条件を求めよう。以下の文の L ， 分裂時の X の検出器に対する速さを α を用いて、 A の初速度の x 成分は負である必要があるので、 α で表せる条件、 A が後方に飛んだ場合、 α を用いて A は
(2) 検出器に入った A のうち、検出器の x 軸上の点で検出されたものだけに着目する。測定される運動エネルギーの取りうる範囲を m ，
(3) X の注入を繰り返し、十分多数の A が検出された。検出された A のうち、運動エネルギーが X の半減期 T が
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解答 高校物理の範囲全般に渡る総合問題です。 α の 2 つあり、どちらも解答に要求されるので、混乱しやすい問題です。 Ⅰ 座標原点から飛び出した X が小窓にちょうど入るためには、 X が磁場による力を受けて、、半径 X の速さを v とすると、磁場が X に及ぼす力は、大きさ フレミング左手の法則 より、向きは円の中心に向かう向きです。
......[ 答 ]
(2) X が半径 t は、半周の距離を速さで割って、①より、 ･･･② 半減期が T なので、分裂前に小窓を通過する割合が下限値 f になるとき、つまり、磁束密度 B が下限値になるとき、
注． X の割合は X の割合は
(3) 分裂前の X の運動量の y 成分は 0 ，分裂後の運動量の y 成分は、 A が B は 運動量保存 より、 ∴ ･･･③ 質量欠損に対応するエネルギー A ， B の運動エネルギー エネルギー保存 より、 2 倍して③を用いると、
Ⅱ (1) xy 座標系から見て、分裂直後の A の検出器に対する初速度の x 成分を X の速度の x 成分は X 静止系から見た A の 相対速度 の x 成分が ∴ ･･･④ 注．問題文に、すべての方向に等確率で飛び出す、と書かれているので、 xy 座標系から見た分裂直後の A の速度は、 が定数なので、 X は x 軸正の向きに一定の 電気力 を受けて x 方向に 等加速度運動 をします。 X の x 方向の運動方程式は、加速度を ∴ ･･･⑤ X は初速 0 で座標原点を飛び出すので、等加速度運動の公式より、
∴ ･･･⑥ 分裂時に X は x 軸正方向に移動していたので、 ......[ ア ] 注入されてから ， ⑥より ∴ イ ] A の初速度の x 成分が ∴ ウ ] 注． xy 座標系で見て、 [ ウ ] の条件は、転回軌道に入るための条件であって、 [ ウ ] を満たさない A は、分裂後 x 軸正方向に動き始め転回することなく直接検出器に向かうことに注意してください。
なので、 [ ウ ] を満たす (X 静止系で見て x 軸負方向に飛び出すものを含めて、 xy 座標系では全数が x 軸正方向に飛び出す ) 。⑥より、 ∴ エ ] [ ウ ] の条件が満たされて分裂後後方に飛んだ場合、 A は、一定の電気力 x 軸負方向に等加速度運動をします。この加速度を A の x 軸方向の運動方程式は、 ， 転回する位置が A の速さが 0 になるので、等加速度運動の公式より、 A が α を用いて答えるので⑥を用いて、 分裂後、後方に飛んだ場合を考えるので、 ∴ オ ] ･･･⑧ 注．問題文では [ オ ] の結果で、 [ オ ] の条件は ∴ ⑥より、 ......[ カ ]
(2) 検出器の x 軸上の点に到達する、ということは、分裂直後の A の速度の y 方向成分が 0 のもの、つまり、 A の運動エネルギーは、④で ( として、 (i) ，分裂後 A の運動エネルギー K は、 ⑥により、 α を用いて表すと、
より ( ∵ ⑥ ) ，よって、 K は ( 2 次関数の最大最小 を参照 ) 。よって、 ･･･⑨ (ii) ，分裂後 xy 座標系で見て、転回してから検出器に向かうものと、直接検出器に向かうものが存在します。この場合、転回するものが、転回後分裂地点 A は一定の電気力を受けて等加速度運動 ( 鉛直上方投射で、初速度 u で投げ上げて、投げ上げた位置に戻ってきたときの速度が ) するので、分裂直後の運動エネルギーと等しくなります。よって、転回するものも転回しないものも、 (i) と同様に、検出器到達時点での A の運動エネルギー K は、 ⑧と [ オ ] の注．より、 K は α の単調減少関数で、 ･･･⑩ ⑨，⑩より、検出される運動エネルギー K の範囲は、
， ......[ 答 ]
(3) X の半減期 T が ( ∵ ⑥ ) は L に比べてはるかに小さくなり、分裂後 A の割合が大きくなります。 T が A の割合が減少し、⑩で運動エネルギーが A の割合が増加します。運動エネルギーが X の半減期 T が ......[ 答 ] 注．わかりにくいので、 (2)[ イ ] の ( 分裂するまでの時間 ) について、表にまとめて整理しておきます。 (2)(i) の (ii) の ( 分裂しなければ A は検出されません ) 。表中の「 A の動き」は、 X 静止系で見て x 軸負方向に飛び出した A の、 xy 座標系での動きです。 0 ･･･ ･･･ ･･･ α 0 ･･･ ･･･ 1 ･･･ 0 ･･･ ･･･ ･･･ L K ･･･ ･･･ A の動き に入る 転回後検出器に到達 転回なし
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，電気量は正の値
である。
以下のような仮想的な不安定原子核Xを考える。Xの質量は
である。分裂の際の質量欠損は
であるが、これはmと比べて十分小さいので、Xの質量はAとBの質量の和で近似されている。分裂後の電気量はAもBも共にqである。これらの原子核の運動について考えよう。
Ⅰ 多数の原子核Xを作り、それらが分裂する前に、特定の運動エネルギーをもつものだけを集めることを考える。図1-2のように、座標原点にある標的素材に中性子ビームを照射し、核反応を起こすことで、多数のXが作られる。これらのXは
の領域に様々な速さで、様々な方向に飛び出す。
の領域に紙面に垂直に裏から表の向きに磁束密度Bの一様な磁場をかける。x軸に沿って紙面に垂直な壁を設け、x軸上に原点から距離aだけ離れた位置に小窓を開ける。壁に衝突することなく、壁面に垂直に小窓を通過する原子核だけを集める。以下の設問に答えよ。ただし、標的素材や小窓の大きさは長さaと比べて十分小さい。
とする。
および
をm，
，cを用いて表せ。
Ⅱ 次に、図1-3に示す実験を考える。原子核Xを座標原点に、初速0で次々と注入する。ここでは
の領域だけに、x軸正の向きの一様な電場Eがかけられており、Xはx軸に沿って加速していく。
には検出器があり、原子核の運動エネルギーと電気量、質量を測ることができる。電場Eは、
となるように調整されている。ここで
は、設問Ⅰ(3)におけるAの速さ(図1-1参照)であり、定数である。
で全ての方向に等しい確率で飛び出す。X静止系での分裂直後のAの速度ベクトルが、x軸となす角度を
とする。このとき、分裂直後のX静止系でのAのx方向の速度は
と表せる。以下の設問に答えよ。
から
に入る式を答えよ。以下の文中で指定された文字に加え、L，
の中から必要なものを用いよ。
と表すと、分裂地点
の関数として
と書ける。また、注入されてから
まで移動する時間は、
の代わりにαを用いて、
と表せる。
に対して、αで表せる条件、
が得られる。この条件から、そもそも
では転回軌道が実現しないことがわかる。Aが後方に飛んだ場合、
の領域に入ると、検出器に到達することはない。これを避けるための条件は、αを用いて
と表せる。
のときには、Aは
によらず
の領域に入ることはない。
を用いて表せ。
よりも小さい原子核の数の割合は、Xの半減期Tが
と比べてはるかに短い場合と、逆にはるかに長い場合で、どちらが多くなると期待されるか、理由と共に答えよ。
の領域に入るのか入らないのか、転回するのかしないのか、検出器に到達するのかしないのか、がややこしく、検討する材料が
とαの2つあり、どちらも解答に要求されるので、混乱しやすい問題です。
の半円形の軌道を描くように運動すればよいわけです。この間のXの速さをvとすると、磁場がXに及ぼす力は、大きさ
で、フレミング左手の法則より、向きは円の中心に向かう向きです。
......[答]
の半円周軌道上を通過する時間t は、半周の距離を速さで割って、①より、
･･･②
のとき小窓を通過するXの割合は
，
のとき小窓を通過するXの割合は
になります。
，
∴ 
......[答]
∴ 
･･･③
∴ 
，
......[答]
∴ 
･･･④
であることに注意してください。xy座標系から見た分裂直後のAの速度は、
です。
∴ 
･･･⑤
∴ 
･･･⑥
です。
......[ア]
まで移動する時間を
とすると、⑤と等加速度運動の公式より、
，
なので、
より、
∴ 
......[イ]
であるために、④より、
∴ 
......[ウ]
なので、
，つまり
になってしまうと、[ウ]を満たす
が存在しなくなり、転回軌道が存在しなくなります(X静止系で見てx軸負方向に飛び出すものを含めて、xy座標系では全数がx軸正方向に飛び出す)。⑥より、
∴ 
......[エ]
を受けてx軸負方向に等加速度運動をします。この加速度を
とすると、Aのx軸方向の運動方程式は、
，
だとして、この点でAの速さが0になるので、等加速度運動の公式より、
･･･⑦
の領域に入らず検出器に到達するためには、電場が存在するのは
の領域なので、
でなければなりません。αを用いて答えるので⑥を用いて、
です。また、
と④より、
......[オ] ･･･⑧
となっているのですが、
の場合、つまり、
の場合も、ここに電場が存在するので、式の上では転回するはずです。
となる場合には、[オ]の条件は
となり、
の領域に入らない条件は、
にかかわらず必ず成立します。よって、
∴ 
......[カ]
のもののみを考える、ということです。このとき、分裂直後のAの運動エネルギーは、④で
(
)として、
です。
，分裂後
で直接検出器に向かう場合、
から
まで電気力
を受けるので、検出器到達時点でのAの運動エネルギーKは、
･･･⑨
，分裂後
のときは、xy座標系で見て、転回してから検出器に向かうものと、直接検出器に向かうものが存在します。この場合、転回するものが、転回後分裂地点
に戻ってきたときの運動エネルギーは、Aは一定の電気力を受けて等加速度運動(鉛直上方投射で、初速度uで投げ上げて、投げ上げた位置に戻ってきたときの速度が
になることを思い出してください)するので、分裂直後の運動エネルギーと等しくなります。よって、転回するものも転回しないものも、(i)と同様に、検出器到達時点でのAの運動エネルギーKは、
(∵ ⑥)
のとき、
，つまり、
であれば、
の領域に入ることはなく、転回して検出器に向かいます。また、⑥において、
より、
において、Kはαの単調減少関数で、
において最大値
をとり、
において
より最小値
をとります。よって、
･･･⑩
，
......[答]
に比べてはるかに短いときは、分裂が早まり分裂位置
(∵ ⑥)はLに比べてはるかに小さくなり、分裂後
に入るものが多く、分裂後直接検出器に向かい⑨を満たすAの割合が大きくなります。Tが
に比べてはるかに長いときは、分裂後
に入るものの割合が減り⑨を満たすAの割合が減少し、⑩で運動エネルギーが
よりも小さくなるAの割合が増加します。運動エネルギーが
よりも小さい原子核の割合は、Xの半減期Tが
に比べてはるかに長い場合の方が多くなります。 ......[答]
(分裂するまでの時間)について、表にまとめて整理しておきます。(2)(i)の
の場合には⑨より運動エネルギーは
以上なので、(ii)の
の場合で考えます。
であれば
，
であれば
であり検出器近くで分裂して検出器に到達します(分裂しなければAは検出されません)。表中の「Aの動き」は、X静止系で見てx軸負方向に飛び出したAの、xy座標系での動きです。
に入る
だとすると
，
が分裂後の
，
の和になるので、
とすると、
，
なので、
も一定で、
を出発した
として、
で最大値
をとり、
で最小値
をとります