気体演習問題(その2)

気体演習問題(その2)

早大理工物理'09年[2]

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以下の問の答を解答用紙の解答欄に記入せよ。

摩擦なく動くピストン

，

を備えた同形の容器

，

を体積が無視できる細いパイプでつなぎ、容器全体に1モルの単原子分子理想気体を封入した装置(図参照)について考えよう。2つの容器はパイプでつながっているので、気体の圧力は装置内のどこでも同一になる。
容器

は高温物体に、

は低温物体に接し、容器内の気体の温度はそれぞれ絶対温度

，Tに保たれている。高温物体，低温物体と接している面を除き、容器およびピストンは熱を通さない素材でできている。
パイプには、容器内の気体とだけ熱をやりとりする「再生器」と呼ばれる装置Gが備えられている。再生器Gはエネルギーを蓄えており、容器

から

に移動する気体を温度Tから

に加熱、

から

に移動する気体を

からTに冷却し、加熱時に放出した熱を冷却時に回収する。

図の装置について次の4つの状態を考えよう。ただし、気体定数をRとする。

状態A：容器

，

内の気体の体積が等しくVである状態(総体積は

)。このときの装置内の気体の圧力を

とする。
状態B：気体の圧力が状態Aと変わらず

で、装置内の気体の総体積が

になった状態。
状態C：気体の圧力が

となり、装置内の気体の総体積が状態Bと変わらず

の状態。ただし、実数xは

を満たし、圧力の変化率を表す。
状態D：気体の圧力が状態Cと変わらず

で、装置内の気体の総体積が

になった状態。

問1　状態Aの圧力

を、T，VおよびRで表せ。

問2　状態Bにおける容器

内の気体の体積を、T，V，Rのうち適当なものを用いて表せ。

問3　状態Cにおける容器

内の気体の体積を、T，V，x，Rのうち適当なものを用いて表せ。

問4　2つのピストンを同時にゆっくりと動かし、圧力を

に保ちながら、装置の状態をAからBに変える。このとき、装置全体が外にした仕事

およびピストン

に気体がした仕事

を、T，V，x，Rのうち適当なものを用いて表せ。

問5　2つのピストンを同時にゆっくり動かし、総体積を

に保ちながら、装置の状態をBからCに変える。この際に装置全体が外にした仕事

およびピストン

に気体がした仕事

を、T，V，x，Rのうち適当なものを用いて表せ。ただし、xは1より十分小さいとする。必要があれば、気体の体積変化

が小さいときに気体がした仕事は、変化前の圧力pを用いて

と与えられることを利用せよ。

装置の状態を、圧力を一定に保ちながらAからB，総体積を一定に保ちながらBからC，再び圧力を一定に保ちながらCからDにゆっくり変え、さらに総体積を一定にしてDからAにゆっくりと戻す過程をサイクルA→B→C→D→Aと呼ぼう。このサイクルについて考えよう。

問6　圧力の変化率xが1より十分小さいとする。装置の状態をサイクルA→B→C→D→Aに従って変化させるとき、装置全体が外にした仕事Wおよびピストン

に気体がした仕事Yを、T，V，x，Rのうち適当なものを用い、

に比例する項を無視して求めよ。必要があれば、近似式

(ただし、a，bは定数)を用いよ。

問7　装置の状態をサイクルA→B→C→D→Aに従って変化させるとき、装置が高温物体から受け取る熱量Qを求めよう。再生器の働きのため、一連の状態変化の際に、容器

から

に移動した気体の量と、容器

から

に移動した気体の量が等しいとき、容器

内の気体が容器

内の気体および再生器Gから受け取る熱量と、

内の気体が

内の気体およびGに放出する熱量は等しい。このことと熱力学の第一法則を利用し、熱量Qを、

，

，W，

，

，Yのうち適当なものを用いて表せ。ただし、状態変化C→Dに伴い装置全体が外にした仕事を

，ピストン

に気体がした仕事を

とした。

問8　装置の状態をサイクルA→B→C→D→Aに従って変化させるとき、装置全体が外にした仕事Wを、装置が高温物体から受け取る熱量Qで割った量を、このサイクルの効率と呼ぶ。問6，問7の結果を利用し、効率を求めよ。

[解答へ]

愛媛大物理'09年[4]

図1(a)のように、断熱材からなる内径断面積

の円筒型シリンダーと質量

のピストンが水平に設置してある。ピストンはシリンダー内を円滑に動き、シリンダーとの間の摩擦は無視できる。シリンダーの両端にはピストンにより隔たれた気密性の高い2つの空間(A室およびB室)が存在し、それぞれに気体を封入できる。また、B室には通電加熱によるヒーターが設置してあり、必要に応じて気体を加熱できる。
いま、単原子分子からなる理想気体を両室に1モルずつ封入したとき、ピストンはシリンダーの中央でつり合い、そのときの両室の圧力、体積、温度は、それぞれ

，

であった。シリンダーの中央を座標原点Oとして、A室側へのピストンの変位

を正とし、ピストンの運動は可逆的になされるものとして、以下の問いに答えよ。

問1　外部と熱のやりとりを行わない気体の状態変化を断熱変化と呼ぶ。その際、圧力Pと体積Vの間には、気体の種類に依存する指数b (

)を用いて、次の関係が成り立つことが知られている。

いま、図1(b)のように、ピストンを原点OからA室側へ距離

だけゆっくり移動させた後、静かに解放すると、ピストンは単振動を始めた。ピストンの運動について述べた以下の文章中の空白を適当な数字あるいは式で埋めよ。ただし、解答に用いることができる文字は、S，M，

，

，b，x，dである。
ピストンが任意の変位

のときのA室の体積をxを用いて表すと、 (1)

となり、このときのA室の圧力は (2)

と表される。一般に、変数

が1に比べて十分小さいとき、

の近似式が成り立つとこが知られている。いま、初期状態からの体積変化量が

に比べて十分小さいことを考慮すると、(2)は (3)

のように近似することができる。この近似のもとに、B室の圧力は (4)

となる。これら2つの圧力を用い、ピストンの加速度を

として運動方程式を立てると、

(5) となる。得られた運動方程式から、ピストンが角振動数 (6)

の単振動を行い、周期

は (7)

であることがわかる。また、ピストンは、xが (8)

のときに最大の速さ (9)

になる。

問2　次に、ピストンをA室側へ大きく移動させ、A室の体積を

にした。

(1) ピストンを移動した後のA室およびB室の圧力および温度を求めよ。

再び、ピストンを原点Oで静止した状態に戻し、B室に設置されているヒーターに通電することにより、B室内の気体を一様に加熱した。加熱の進行に伴いピストンはゆっくりとA室側へ移動し、A室の体積がちょうど

になった時点で加熱を止めた。

(2) 加熱後のA室およびB室の圧力および温度を求めよ。

(3) ヒーターからB室に投入された熱量、ならびにピストンを通じてB室の気体がした仕事を求めよ。ただし、必要であれば気体の熱容量

を用いよ。

問3　A室内は単原子分子の理想気体のまま、B室内を1モルの二原子分子からなる理想気体に置き換えた。B室内の気体を置き換えたほかは、問1とすべて同じ条件のもとで微小振動させた。次の問いに答えよ。なお、単原子分子および二原子分子からなる理想気体の指数bは、それぞれ、

，

である。

(1) A室およびB室の圧力と体積の関係を表した図2のグラフの中から、最も適当なものを1つ選べ。

(2) ピストンの振動の様子を表した図3のグラフの中から、最も適切なものを1つ選べ。ただし、図3中の

，

は周期を表し、このうち

は問1(7)の周期を表す。

[解答へ]

阪大物理'09年前期[3]

図のように、外部との熱の出入りがないように周囲を断熱材で囲んだシリンダーがあり、外部から支えることができるように棒がとりつけられたピストンで、シリンダーの内部が区切られている。ピストンは短い時間では熱を通さないとみなすことができる。またピストンを支える棒は熱を通さない。ピストンとそれを支える棒、およびシリンダーの熱容量は無視できる。さらにピストンとシリンダーの間の摩擦はないものとする。
ピストンによって分けられたシリンダー内部の右と左の部分に、それぞれ

の単原子分子理想気体が入っている。以下、左の部分をA系、右の部分をB系と呼ぶ。単原子分子理想気体の定積モル比熱を

，気体定数をRとする。また、温度はすべて絶対温度とする。
最初、A系の体積が

，B系の体積が

，また温度がそれぞれ

，

であり、ピストンは何の支えもなく静止していた。これを初期状態と呼ぶことにする。

問1　

と

の間に成り立つ関係式を求めよ。

初期状態から、A系とB系の温度と圧力が等しくなるような状態への変化の過程を、次のⅠとⅡの場合について考えてみよう。
[Ⅰの場合]
初期状態からピストンを通してゆっくりと熱が移動し、A系とB系の温度と圧力が等しい状態に達した。このときB系の体積が

，温度が

となった。

問2　

を

を用いて表せ。

問3　

を

を用いて表せ。

[Ⅱの場合]
初期状態でピストンを固定した。この状態からピストンを通してゆっくりと熱が移動し、A系とB系の温度が等しい状態に達した。このとき温度が

となった。

問4　

を

を用いて表せ。

問5　この変化の過程でA系からB系に移動した熱量を

，

を用いて表せ。

この状態はA系とB系の温度は同じであるが、圧力は異なる。ここで手でピストンを支えながら固定を解き、A系とB系が同じ圧力になるまでピストンを支えながら単調に動かし、単原子分子理想気体を断熱変化させた。このときB系の体積が

，圧力が

となった。また、単原子分子理想気体の断熱変化に対して、圧力pおよび体積Vの間には、

という関係が成立する。

問6　

をR，

，

を用いて表せ。

問7　

を

を用いて表せ。必要であれば

をα，

をβとして用いてもよい。

これで圧力がつり合ったので手の支えを離す。しかしこの状態は温度が異なる。この状態からピストンを通してゆっくりと熱が移動し、A系とB系の温度と圧力が等しい状態に達した。このとき温度が

となった。

問8　Ⅰの場合に問3で求めた温度

と、Ⅱの場合の温度

は、どちらが高いか、または同じか。以下より適当なものを選び、解答欄にその記号を記入せよ。また、その理由を簡単に述べよ。

ア．

　　イ，

　　ウ．

[解答へ]

北大物理'10年前期[3]

以下の問1から問3は (1) ～ (7) に適切な記号または数式を記入し、 (a) ～ (c) については末尾の選択肢から適切な語句または関係式を選び、(ア)～(キ)の記号を入れよ。また問4は解答用紙中のグラフ内に作図せよ。

問1　定圧モル比熱を

，定積モル比熱を

，それらの比

をγ，気体定数を

とする。理想気体では

と

との間には

(1)

の関係が成り立つので、

はγおよびRを用いて

(2)

と表せる。また、理想気体の断熱変化では、圧力

と体積

の間に

が成り立つ。

問2　図1のように、大気圧

下で断面積

のシリンダー内をなめらかに動くピストンがあり、

の理想気体が封入されている。ピストンおよびシリンダーは断熱材で構成されており、シリンダー内には加熱用のヒーターが取り付けられている。初期状態では気体の圧力は

，体積は

，温度は

である。この状態を

と呼ぶ。

状態

からヒーターで気体に

の熱を加えたところ、気体の体積は

，温度は

となった。ここでヒーターのスイッチを切った。この状態を

と呼ぶ。

から

への変化は (a) 変化であり、

と

は

，

，R，Qを用いて

(3)

，

(4)

と表せる。また、この間に気体が外部にした仕事

と気体の内部エネルギー増加分

は、

，R，Qを用いて

(5)

，

(6)

と表せる。

問3　状態

から、図2の矢印の方向にピストンに力を加えてゆき、温度が初期温度

と等しくなるまで気体をゆっくりと膨張させたところ、ピストンを引く力の大きさは

，気体の体積は

となった。この状態を

と呼ぶ。

から

への変化は (b) 変化であり、

は

，

，A，F，γを用いて

(7)

と表せる。また、

，

における気体の内部エネルギーをそれぞれ

，

とすると、それらの関係は (c) となる。

問4　解答用紙のp-Vグラフ上に

および

を表す点、ならびに、

から

，

から

への変化を表す直線または曲線を記入せよ。ただし図は概略でよい。

選択肢
(ア) 定圧，　(イ) 定積，　(ウ) 等温，　(エ) 断熱，
(オ)

，　(カ)

，　(キ)

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横市大物理'10年[3]

なめらかに動くピストンをもつシリンダー内に、nモルの単原子分子理想気体が封入されている。この気体の圧力をp，体積をVとして、右のp-V図に示すように、A→B→C→D→Aを1サイクルとする熱機関をつくる。A→BおよびC→Dの過程は定圧変化、B→CおよびD→Aの過程は断熱変化である。状態A，B，C，Dの体積はそれぞれ

，

であり、状態AとBの圧力は

，状態Cと状態Dの圧力は

である(

)。ここで、気体定数をRとする。また、気体が吸収する熱量は正の値、放出する熱量は負の値とする。このとき、以下の設問に答えよ。

(1) 状態A，B，C，Dの絶対温度

，

をそれぞれ求めよ。

(2) A→BおよびC→Dの過程において、気体が吸収または放出する熱量

および

をそれぞれ求めよ。

(3) 次に、B→CおよびD→Aの過程について考える。

(a) それぞれの過程において、温度は上昇するか下降するかについて、熱力学第一法則を用いて説明せよ。

(b) それぞれの過程において、気体がする仕事

および

を求めよ。

(4) さらに、A→B→C→D→Aの過程について考える。

(a) この1サイクルの間に気体がする仕事の合計

を求めよ。

(b) この1サイクルに対する熱効率eを求めよ。

」という関係がある(γは定数)。ここで、B→CおよびD→Aの過程に対するγの値は同じである。このとき、

として、上記(b)で求めた熱効率eをxとγで表せ。さらに、

として、xとeの関係の概略をグラフに描け。

[解答へ]

新潟大物理'10年[4]

[1]　図のような、シリンダーとピストンからなる装置がある。シリンダー内に閉じ込めた気体には熱を与えることができる。ある気体をこのシリンダー内に閉じ込めて、この気体の性質を調べる。

ここで、閉じ込めた気体は単原子分子気体ではなく、その物質量も不明である。この気体は理想気体の状態方程式に従い、また、気体の内部エネルギー

は気体の温度

に対して

という比例関係を満たすことがわかっている。Cは比例定数である。以下の問いに答えよ。
まず、ピストンを固定した状態で気体に熱を与える。熱を与える前の温度が

であり、気体に

の熱量を与えたあと、気体の温度は

に上昇した。

問1　比例定数Cの値を有効数字2桁で求めよ。

次に、気体の圧力を一定値

に保ちながらピストンがなめらかに動くようにする。気体の温度を

にすると、体積は

となった。この状態の気体に熱量

を与えると、気体は膨張し温度は

になった。

問2　このときの気体の温度変化

が

となることを導け。

問3　この気体の定圧モル比熱

と定積モル比熱

の比

の値を有効数字2桁で求めよ。なお、計算の過程も示せ。

[2]　図1のように、上端がふさがり下端は開いている円筒型の容器を密度

，温度

の液体に浸し、質量と体積が無視できる糸でつり下げて重量を測定したところ、重量計は

を指した。次に、図2のように、この容器に物質量

，温度

の理想気体を入れてつり下げ、重量計が

を指す位置に容器を静止させた。このときの、液体表面から容器内の液体と気体の境界面までの深さを

，境界面から容器上面までの長さを

，容器内の気体の圧力を

とする。また、円筒容器の断面積は

であり、気体定数を

，重力加速度を

とする。ただし、円筒容器は傾くことはなく、気体と液体および容器はつねに熱平衡を保ち、それらの温度は等しい。また、気体の質量は無視できるものとし、液体と容器は温度によって膨張収縮することはなく、液体表面に加わる大気圧も変化しないものとする。

問1　以下の問いに、

，M，n，R，T，S，gのうち必要なものを用いて答えよ。

(1) lを求めよ。

(2) pを求めよ。

問2　温度をTから

に上昇させ(

)，この場合に重量計が

を指すように円筒容器の位置を変化させた。このとき、境界面の深さは

，容器内の気体の圧力は

であった。以下の問いに、

，M，n，R，T，S，gのうち必要なものを用いて答えよ。

(1)

と

の関係を求めよ。

(2)

と

の関係を求めよ。また、温度が

のときに重量計が

を指す容器の位置は、温度Tのときよりも上か下かを答えよ。

[解答へ]

長崎大物理'10年[3]

図のように円筒容器が水平に置かれている。この円筒容器の壁は断熱されており、中は断熱性の仕切り板(断面積S)と円筒容器の外部との熱の出入りが自由なピストン(断面積S)によって2つの部分に区切られている。これらの仕切り板とピストンは左右になめらかに動く。左側には単原子分子の理想気体Aが封入されており、熱が加えられるようにヒーターが取り付けられている。また右側には単原子分子の理想気体Bが封入されている。初期状態では、気体A、気体Bの圧力は

，温度は

であり、どちらの気体も円筒容器の外部の圧力および温度と等しかった。また、円筒容器の左側から仕切り板までの距離と仕切り板からピストンまでの距離はともに

であった。ただし、仕切り板の厚さは無視できるものとする。

過程a

初期状態において、ヒーターで気体Aに熱を加えると、仕切り板とピストンはゆっくり右側に移動した。そして、しばらくして熱を加えるのをやめると、仕切り板とピストンは停止した。このときの気体Aの温度は

であった。

(あ) 気体Aの内部エネルギーの変化量

を

，

，Sを用いて表せ。

(い) ピストンが停止したときの気体Aの体積

を

，

，Sを用いて表せ。

(う) 気体Aに加えられた熱量Qを

，

，Sを用いて表せ。

過程b

初期状態において、ピストンを動かないように固定してヒーターで気体Aに熱を加えると仕切り板は停止した。このときの気体Aの温度は

であった。

(え) 仕切り板が停止したときの気体Aの圧力

を

を用いて表し、また、仕切り板が移動した距離

を

を用いて表せ。

(お) 気体Bが周囲から加えられた仕事をWとして、気体Aと気体Bが吸収または放出した熱量

と

をそれぞれ

，S，

，Wのうち必要なものを用いて表せ。ただし、吸収の場合を正、放出の場合を負とする。

(か) 過程bにおける気体Bの圧力と体積の関係についてグラフを描き、さらに気体Bが周囲から加えられた仕事Wに相当する面積を斜線によって示せ。

[解答へ]

早大理工物理'11年[3]

可動壁によって体積を変えることができる直方体の容器に1モルの単原子分子理想気体が封入されている。容器内部の理想気体を「系」、容器の外部を「環境」と呼ぶことにする。容器の壁を通して系は環境と熱のやりとりができる。はじめに、可動壁を固定し、環境の温度をTにしてしばらく待ったところ、系は熱平衡に達し、系の圧力がPになった。重力の影響は無視できるとし、以下の問に答えよ。なお、気体定数はRとする。

問1　まず、可動壁を固定したまま、環境の温度を

だけゆっくり上げた。この過程で系が環境から吸収した熱量はいくらか。

問2　つぎに、環境の温度を

に保ったまま、可動壁の固定を解除し、外力によってつりあいを保ちながら可動壁をゆっくり動かしたところ、系の圧力がPにもどった。この過程で系の体積はどれだけ変化したか。

問3　最後に、系の圧力をPに保ったまま、環境の温度をゆっくり下げてTにもどした。この過程で系が環境から吸収した熱量はいくらか。

問4　以上の一連の過程を1サイクルとする熱機関の効率はいくらか。ただし、問2の過程で系がした仕事をWとせよ。

つぎに、理想気体を用いた熱機関の代わりに、石けん膜を用いた熱機関を考えてみよう。

図に示すように、可動棒によって面積を変えることができる長方形の枠に石けん膜が張られている。石けん膜の張力により、可動棒の石けん膜と接する部分には単位長さあたりf の力が図の左向きに働く。石けん膜を「系」、石けん膜の外部を「環境」と呼ぶことにする。系の面積は枠で囲まれた長方形の面積に等しいとし、系の内部エネルギーは単位面積あたりuであるとする。可動棒をゆっくりと動かして系の面積を変化させてもf，uは系の面積によらず一定であるとする。ただし、f，uは環境の温度Tによって変化するものとする。
はじめに、可動棒を固定して系の面積をAにし、環境の温度をTにして系が熱平衡に達するまでしばらく待つ。系を構成する物質の出入りはなく、重力の影響は無視できるとして、以下の問に答えよ。

問5　まず、可動棒の固定を解除し、外力によってつりあいを保ちながら可動棒をゆっくりと右に動かし、系の面積を

だけ増加させる(

)。この過程で系がする仕事はいくらか。

問6　問5の過程で系が環境から吸収する熱量はいくらか。

問7　つぎに、可動棒を再び固定し、系の面積を

に保ったまま、環境の温度を

だけゆっくり下げる(

)。この過程で系が環境から吸収する熱量はいくらか。ただし、本問以降の問では、f，uはそれぞれ

，

(a，bは正の定数、

)と表せるとせよ。また、本問以降の問では、答はa，b，A，T，x，yの中から必要なものを用いて表し、さらに、

であるためyに比べて

は無視できるとせよ。

問8　つづいて、可動棒の固定を解除し、環境の温度を

に保ったまま、外力によってつりあいを保ちながら可動棒をゆっくり左に動かし、系の面積をAにもどす。この過程で系が環境から吸収する熱量はいくらか。

問9　最後に、可動棒をもう一度固定し、系の面積をAに保ったまま、環境の温度をゆっくり上げてTにもどす。以上の一連の過程を1サイクルとして熱機関が構成される。この熱機関が1サイクル中にする仕事はいくらか。また、この熱機関の効率はいくらか。

[解答へ]

阪大物理'11年前期[3]

風船では、ゴムが縮もうとする力によって内部の圧力が外部の圧力より高くなる。このような風船に単原子分子理想気体Aを

モル入れ、それを図のように

モルの単原子分子理想気体Bの入ったピストン付きのシリンダーに入れた。このシリンダーとピストンは外部との熱の出入りがないような断熱材でできている。シリンダーは風船に対して十分大きいとする。このシリンダーにはヒーターが取り付けられている。ピストンはなめらかに動き、風船外部の気体Bの圧力は常に一定でPであるとする。
以下で考える風船は熱をよく通し、風船外部と風船内部の温度は同じである。風船は気体を通すことはない。風船を作っているゴムの質量、厚み、および熱容量は無視できるとする。以下、気体定数をRとする。

Ⅰ．まず、風船内部の気体Aの圧力