電通大数学'08年後期[2]
関数
，
を用いて
， 
(1) 
に対応するC上の点の座標を求めよ。 (2) 
の範囲で
と
の増減を調べ、曲線Cの
に対応する部分の概形を描け。 (3) C上の点をx軸に関して対称移動するとC上の点に移ることを示せ。
(4) C上の点
を原点を中心として
だけ回転すると、C上の点
に移ることを示せ。 (5) 曲線Cの概形を描き、Cで囲まれる部分の面積Sを求めよ。
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解答 曲線C上の点P
の座標は、
と書けるので、半径2の円周上の点Q
，
として、
です。曲線Cは、右図のように、半径3の円周
の内側を滑ることなく接触を保ちながら転がる半径1の円
(はじめ右図Aで
と接していた)上の点P(はじめAにいた)が描く曲線です。ハイポサイクロイドと呼ばれています。
......[答]
......[答]
......[答]
θ が
のとき、x座標は減少しy座標は増加する(関数の増減を参照)ので、点Pは
から
まで、左上に向かって進んでいきます。
曲線Cの
に対応する部分の概形は右図黒線。
(3) C上の点は
と表せるので、C上の点
がC上に移るということは、移った先の点も
という形に書ける、ということです。 C上の点
をx軸に関して対称移動すると
に移ります。 となるので、移った先もC上の点です。つまり、C上の点をx軸に関して対称移動するとC上の点に移ります。
(4) 原点を中心とする角
の回転を表す行列は、
です(1次変換を参照)。 この回転移動によって、C上の点
は、 と変形すると、
となるので、C上の点
に移ります。 
･･･①
のとき、曲線Cの接線の傾きは、より、0に近づきます。
を通る傾き0の直線は、
，つまり、x軸です。
のとき、曲線Cの接線の傾きは、 より、
に近づきます。
を通る傾き
の直線：
は原点を通ります。(4)から考えると、この点で曲線Cは尖っている(尖点と言います)ことがわかります。また、点
，点
も尖点です。曲線Cの概形は右図黒線。
注．上記で「
，
のときの接線の傾き」としないのは、
で、
，
において、媒介変数表示された関数：
，
(xの関数y)は、微分可能ではないからです。また、凹凸も調べるために、
を計算してみます。媒介変数表示された関数では、工夫が必要です。
ですが、①を見ると、
はθ の関数の形で表されているので、合成関数の微分法を使って、θ で微分し、
を後でかけることになります。
は、逆関数の微分法の公式より、
です。 
においては、(2)の
の増減表より
なので、
より、曲線Cは下に凸です。試験会場では、ここまで調べなくても、
に対応するC上の点から概形を描くことができるでしょう。
面積は、曲線Cの対称性を利用して、右図で、曲線Cと線分OA，線分OBで囲まれる部分(黄色着色部分)の面積
を3倍することにします。
は曲線Cの
の部分とx軸、直線
で囲まれる部分の面積
から右図の三角形OBH(水色着色部分)の面積
を引くことにより求めます。x，yとも媒介変数θ で表されているので、θ の積分に変えるために置換積分します。
とおくと、
，
，x：
のとき、θ：
......[答]
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