東京科学大医歯学系数学'25年前期[3]
aを1より大きい実数とし、xy平面上の曲線
：
および曲線
：
について考える。原点をOとし、
上に点P，
上に点Qをとる。このとき、以下の各問いに答えよ。
(1) Oを通る傾きkの直線が
に接するとき、aの値をkを用いて表せ。また、接点の座標をaを用いて表せ。
(2) Oを通る直線が
に接するとき、接点の座標をaを用いて表せ。
(3) △OPQが正三角形となるようなP，Qの組の個数を、aの値で場合分けして求めよ。
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解答 医学部の入試問題だけあって、複雑怪奇な難問です。本問では⑧の事実(
と
は直線
に関して対称でPとQも
に関して対称)に気づかないとお手上げになります。
に傾き0の接線を引くことはできないので
接線の傾きがkより、
として
，
接点のx座標は
，接点のy座標は
･･･①
接線：
接線は、原点Oを通るので、
より、
，
，
(対数関数を参照) ∴ 
......[答]①に代入すると、
，
接点の座標は、
......[答]
接線の傾きをk，即ち、
として
接点の
座標は
，接点のy座標は
･･･②
接線：
接線は原点Oを通るので、
，
，
，
②に代入すると、
，
接点の座標は、
......[答]
(3) tを実数，
として、
上の点P
，
上の点Q
と原点Oとで正三角形となるので、
です。Pを
回転するとQに来ます。 また、
より、 
･･･③ここで、
(つまり
) ･･･④と仮定すると、③において、
より
，即ち、 
･･･⑤です。④かつ⑤ということは、
･･･⑥ということです。すると、
(∵ ⑤)
(∵ ④，⑥)となり、
は鈍角で
になり得ません。つまり、④の仮定は否定されます(背理法については証明の技巧を参照)。 
(つまり
) ･･･⑦
(∵ ⑦)やはり
は鈍角で
になり得ません。つまり、⑦の仮定は否定されます。
④，⑦がともに否定される、ということは、
ということです。
この事実は、
と
が互いに逆関数の関係にあり、直線
に関して対称なので、△OPQが正三角形になるとき、
より、PとQは直線
に関して対称な位置にある、対称でない場合は正三角形にならない、ということを意味しています。つまり、P，Qの座標について、 
，
･･･⑧が成立します。
以下、
，複号同順として、 
(複号が＋のときPを
回転するとQ，複号が－のときPを
回転するとQ)よって、
･･･⑨，
･･･⑩
⑨において、複号が＋のときには
ですが、複号が－のとき(Pを
回転するとQ)には、
であるために
が必要です。
なら
で不適です。よって、
となりますが、このとき、 
･･･⑪でなければなりません。
⑧，⑨より、
，
(⑨，⑩から複号同順です) ･･･⑫⑧，⑩より、
，
，これは⑫と同じ結果を与えます。
ここで、関数
を考えます。微分すると、 
とすると、
より、
，
のとき
ですが、
，
，増減表は以下のようになります。
では
になり得ないので、
における最小値
と
の大小で分類して、
において、
のグラフ(右図)と直線
の共有点の個数を調べます(微分法の方程式への応用(2)を参照)。この個数が、△OPQが正三角形となるようなP，Qの組の個数になります。
ところで(対数関数を参照)、
のとき
，
，
です。
のとき
，
，
です。
のとき
，
，
です。
のとき
，
，
です。
のとき
，
，
です。
これより、
のとき、
であって、
のグラフは、
，
のいずれとも2共有点を持ち、△OPQが正三角形となるようなP，Qの組の個数は4です。
のとき、
であって、
のグラフは、
とは2共有点を持ちますが、
とは1共有点しか持たず、△OPQが正三角形となるようなP，Qの組の個数は3です。
のとき、
であって、
のグラフは、
とは2共有点を持ちますが，
とは共有点を持たず、△OPQが正三角形となるようなP，Qの組の個数は2です。
のとき、
であって、
のグラフは、
と1共有点を持ち，
とは共有点を持たず、△OPQが正三角形となるようなP，Qの組の個数は1です。
のとき、
であって、
のグラフは、
，
のいずれとも共有点を持たず、△OPQが正三角形となるようなP，Qの組の個数は0です。
上記で、
(
)のとき、⑪を満たさないように見えますが、このとき⑨の複号は＋(Pを
回転するとQ)で
です。
(
)は⑪を満たしています(このとき⑨の複号は－でPを
回転するとQ)。
以上より、
のとき4，
のとき3，
のとき2，
のとき1，
のとき0 ......[答]
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，微分すると、
，
であり、
です。
(
，
)
，
