慶大理工数学'10年[B1]
aを正の定数とし、座標平面上の曲線C：
と直線l：
を考える。
(1) 曲線Cと直線lがただ１つの共有点Aをもつとき、定数aの値と点Aの座標を求めなさい。求める過程も書きなさい。
(2) (1)のとき、曲線C，直線l，およびy軸で囲まれる図形をy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積Vを求めなさい。求める過程も書きなさい。
(3) aを(1)で求めた値より小さい正の定数とする。このとき、直線l：
は曲線Cと共有点をもたない。点Pが曲線C上を動き、点Qが直線l上を動くとき、線分PQの長さが最小となるのは、点Pの座標が
のときである。この点P
がy軸上にあるのは
のときであり、このとき最小の線分の長さを求めると
となる。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
解答 この問題も教科書の例題レベルの問題です。(3)は[A3]と同一趣旨の問題です。
(1) 曲線Cは下に凸な曲線なので、曲線Cと直線lがただ1つの共有点をもつとき、直線lは曲線Cの接線になっています。 C：
直線lがCの接線になるとき、接線の傾きはaなので、
･･･①∴ 
接点はC上の点であってかつl上の点なので、そのy座標について、 
･･･②よって、
より、接点のx座標は、 接線の傾きaは、①より、
......[答]接点のy座標は、②より、
共有点Aの座標は、
......[答]別解．定数aの分離によっても解答できます(微分法の方程式への応用(2)を参照)。Cとlの方程式を連立して、 
はこれを満たさないので、xで割って、
･･･③Cとlがただ1つの共有点をもつとき、方程式③もただ1つの実数解をもち、この実数解が共有点のx座標になります。
とおいて、
とすると、
，
，
，
より(関数の増減を参照)、
のとき方程式③はただ1つの実数解
をもち、接点のx座標は
になります。
(2) (1)のとき、直線lは、
となります。求める体積Vは、底面が半径
の円で高さeの円錐の体積から、曲線Cとy軸と直線
で囲まれる部分をy軸のまわりに回転させた回転体の体積を引いたものになります(y軸のまわりの回転体を参照)。 ∴ 
......[答]
(3) 線分PQの長さが最小になるのは、Pにおいて曲線Cに傾きaの接線が引けるときで、(1)の①，②と同様にして、接点のy座標は、
この両辺の対数を考えると、
接点のx座標は、
線分PQの長さが最小となるときのPの座標は、
......[答]点Pがy軸上にあればx座標は0で、 ∴ 
......[答]このとき、Pの座標は
，最小の線分の長さは、P
と直線l：
との距離として、
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
慶大理工数学TOP 数学TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2024(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中！理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。 
