慶大理工数学'23年[3]
何も入っていない2つの袋A，Bがある。いま、「硬貨を1枚投げて表が出たら袋A，裏が出たら袋Bを選び、以下のルールに従って選んだ袋の中に玉を入れる」という操作を繰り返す。
－－ルール－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
●選んだ袋の中に入っている玉の数がもう一方の袋の中に入っている玉の数より多いか、2つの袋の中に入っている玉の数が同じとき、選んだ袋の中に玉を1個入れる。
●選んだ袋の中に入っている玉の数がもう一方の袋の中に入っている玉の数より少ないとき、選んだ袋の中に入っている玉の数が、もう一方の袋の中に入っている玉の数と同じになるまで選んだ袋の中に玉を入れる。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
たとえば、上の操作を3回行ったとき、硬貨が順に表、表、裏と出たとすると、A，B2つの袋の中の玉の数は次のように変化する。
(1) 4回目の操作を終えたとき、袋Aの中に3個以上の玉が入っている確率は
である。また、4回目の操作を終えた時点で袋Aの中に3個以上の玉が入っているという条件の下で、7回目の操作を終えたとき袋Bの中に入っている玉の数が3個以下である条件付確率は
である。
(2) n回目の操作を終えたとき、袋Aの中に入っている玉の数のほうが、袋Bの中に入っている玉の数よりも多い確率を
とする。
を
を用いて表すと、
となり、これより
をnを用いて表すと
となる。
(3) n回目(
)の操作を終えたとき、袋Aの中に
個以上の玉が入っている確率は
であり、
個以上の玉が入っている確率は
である。
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解答 難問です。特に(3)は、少ない袋を選んだときには多い方と同数にする、というルールの2つめが状況を非常に複雑にしていて、遷移図すら書きにくくさせています。さらに、
では、袋Aが
個以上になる場合の中に、袋Bが
個の場合(袋Bの方が多い)が含まれることが状況をややこしくしています。試験会場でそんな精神的余裕を持てるか、ということはありますが、できれば、難解な(3)を捨ててでも、(1)で慎重に樹形図を書いて確実に得点したいところです。
(1) 右図樹形図(枠の色については、(3)で説明します)で、4回目操作後の青枠(1)，赤枠(4)，ピンク枠(2)の数を数えて、4回目の操作を終えたとき、袋Aの中に3個以上の玉が入っている確率は、
......[カ] 4回目操作後、袋Aの中に3個以上の玉が入っていたとき、n回目操作後の袋B内の玉の個数を
とします。
このとき、4回目以降(
)、袋B内の玉の個数が4以上(
)になると
になることはありません。 ・
となる確率は右図樹形図より
，このとき
となることはなく、
となるのは、5回目、6回目、7回目、いずれも表が出た場合で、この確率は
です。 ・
となる確率は右図樹形図より
，このとき
となることはなく、
となるのは、5回目、6回目、7回目、いずれも表が出た場合で、この確率は
です。 5回目に裏が出ると、
になります。このとき、
となることはなく、
になるのは、6回目、7回目に表が出た場合で、その確率は
･･･①
注．5回目表のときは、Aが4個以上になってしまうので、6回目、7回目に裏が出ても、
にならない。 ・
となる確率は右図樹形図より
，このとき、
となるのは、5回目、6回目、7回目、いずれも表が出た場合で、その確率は
5回目に裏が出ると、
になります。以後は①と同じで、
となる確率は
注．これも、
と同様、5回目に表が出るとAが4個以上になり、6回目、7回目に裏が出ても、
にならない。 ・
となる確率は右図樹形図より
，5回目に裏が出ると
になるので、
になるのは、5回目、6回目、7回目、いずれも表が出た場合で、この確率は
です。 
......[キ]
別解．上記のようなことになるなら、論理的に進めるよりも、右下図樹形図を書いて数える方がラクです。
(2) n回目の操作後、袋A内の玉の数が袋B内の玉の数よりも多い確率を
とすると、袋B内の玉の数が袋A内の玉の数よりも多い確率も
となります。また、袋A内の玉の数が袋B内の玉の数と等しくなる確率は、
です。 
回目の操作後、袋A内の玉の数が袋B内の玉の数よりも多くなるのは、n回目の操作後、袋A内の玉の数が袋B内の玉の数よりも多いか、等しい場合に、
回目で表が出るときです。その確率は(2項間漸化式を参照)、
......[ク] ･･･②
･･･③ とすると、
②－③より、
これより、
は、公比：
，初項：
の等比数列です。よって、 
∴ 
......[ケ]
(3) 遷移図を書いて漸化式を作りたいところですが、状況をどのように分けて考えるか悩みます。ここでは、上側の樹形図の4回目操作後から5回目操作後への遷移について考えることにします。まず、n回操作後、表が出続けた場合(青枠)を分けて考えるべきでしょう。また、n回目操作後に、袋Aと袋Bがともに
個以下になってしまうと、
回目に表が出ても裏が出ても、
回目操作後に袋Aも袋Bもともに
個以下になり、袋Aも袋Bも
個にならないことに注意します。 
回目操作後に
個以上になるとき、n回目操作後にどういう状況になっているかを考えます。まず、袋Aが
個で袋Bが
個以下となる場合(赤枠)と、袋Aと袋Bがともに
個の場合(ピンクの枠)があります。
また、袋Aが
個で袋Bが
個以下となる場合(緑枠、4回目操作後には出てきませんが)と袋Aと袋Bがともに
個の場合(オレンジ色の枠)があります。
また、袋Aの玉の数と、袋Bの玉の数が対称性を有することに注意します。
袋Aより袋Bの方が多い黄緑色の枠からオレンジ色の枠に遷移する場合もあります。n回目操作後に、・袋Aの玉の数がn個になるのは、n回全て表が出る場合で、この確率は
，同様に、袋Bの玉の数がn個になる確率も
です。 ･･･④ ・袋Aの玉の数が
個、袋Bの玉の数が1個以上
個以下になる場合を(
)，その確率を
とします。袋Bの玉の数が
個、袋Aの玉の数が1個以上
個以下になる確率も
です。 ・袋Aの玉の数と袋Bの玉の数が等しく
個になる場合を(
)，その確率を
とします((1)の
とは異なります)。 ・袋Aの玉の数が
個、袋Bの玉の数が1個以上
個以下になる場合を(
)，その確率を
とします。袋Bの玉の数が
個、袋Aの玉の数が1個以上
個以下になる確率も
です。 ・袋Aの玉の数と袋Bの玉の数が等しく
個になる場合を(
)，その確率を
とします。 n回全て表または裏となる場合と(
)，(
)，(
)，(
)は排反です。 
回目操作後、・状況(
)になるのは、状況(
)あるいは状況(
)において、表が出る場合です(上の樹形図で、5回目の赤枠を見てください)。その確率
は、 
･･･⑤・状況(
)になるのは、n回目まで表が出て、
回目に裏が出る場合、あるいは、n回目まで裏が出て、
回目に表が出る場合です(上の樹形図で、5回目のピンクの枠を見てください)。その確率
は、 
･･･⑥・状況(
)になるのは、状況(
)あるいは状況(
)において、表が出る場合です(上の樹形図で、5回目の緑枠を見てください。但し、4回目には緑枠はありません)。その確率
は、 
･･･⑦・状況(
)になるのは、状況(
)において裏が出て袋Aと袋Bが同数になるか、状況(
)で袋Aと袋Bが入れ替わった場合において表が出て袋Aと袋Bが同数になる場合です(上の樹形図で、5回目のオレンジ色の枠を見てください)。その確率
は、 
･･･⑧なお、上の樹形図の4回目、5回目操作後で、黄緑色の枠は状況(
)の袋Aと袋Bを入れ替えた状況、うすい黄緑色の枠は状況(
)の袋Aと袋Bを入れ替えた状況を表しています。4回目操作後の樹形図より、
，
，
，
⑥より、
･･･⑨
これは
を満たしています。
これを⑤に代入して、
両辺に
をかけて(漸化式の技巧を参照)、
よって、
は、公差：2，初項：
の等差数列です。 
∴ 
･･･⑩これは、
を満たしています。また、⑧より、 
･･･⑪これは、
を満たしています。⑪を⑦に代入して、 両辺に
をかけて、 
(
)
(∵ 等差数列の公式を使用)∴ 
･･･⑫ 
より、
のときもこれでOKです。
以上より、n回操作後に、袋Aに
個以上の玉が入っている確率は、④，⑨，⑩より、
......[コ] ･･･⑬
袋Aに
個以上の玉が入っている確率の方は注意が必要です。
のとき、袋Aに2個以上の玉が入るのは、[コ]の解答で
とした
に、(
)，(
)の場合の、
を加えた
ではありません。上の樹形図を見ると、袋Aに2個、袋Bに3個入っている場合(袋Bの方が多い)の確率
が抜けています。
のときにも、袋Aに
個、袋Bに4個の玉が入っている場合(袋Bの方が多い)があります。
つまり、n回操作後、袋Aに
個の玉が入っている場合は、(
)，(
)に加えて、袋Aに
個、袋Bに
個入る場合を加える必要があります。これ以外に、袋Aに
個入ることはありません。
袋Aに
個、袋Bに
個入るのは、
回操作後に、袋A袋Bともに
個玉が入っていて(状況
)、裏が出た場合だけです。その確率は、 
･･･⑭よって、n回操作後に袋Aに
個以上玉が入っている確率は、⑪，⑫，⑬，⑭より、 
......[サ]
のとき
，
のとき
となりますが、上側の遷移図で数えて求められる確率に一致します。
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