東工大数学'11年後期[2]
次の式
で表されるxy平面上の曲線Cを考える。定数
に対し、点P
を通り、x軸に垂直な直線
と曲線Cの交点をQとする。曲線C，x軸，y軸および直線
で囲まれた図形の面積を
とし、△OPQの面積を
とする。
(1) 
，
をtを用いて表せ。 (2) 極限
を求めよ。
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解答 頻出の定積分
に関する問題です。いろいろな計算法がありますが、追記で詳しく検討してみます。
(1) 
より、
(双曲線を参照) 
より
なので、
･･･①
よって、Qの座標は
三角形OPQは、底辺t，高さ
より、面積
は、
......[答]①を用いて、
∴ 
･･･③
よって、③より、
......[答]
(2) 
のとき、∴ 
......[答]
追記．(1)の
の②の定積分は、以下のように計算することもできます。 
，
，x：
のとき、θ：
(ただし、
，
) (置換積分を参照)
とおくと、
∴ 
④に代入して、
(1)の定積分
については、[解答]のように部分積分法と組み合わせて計算するのがよいと思いますが、
とおいて置換積分することもできます(早大理工'10年[4]を参照)。
ですが、いずれにせよ、かなり計算が面倒です。
ここでは、かなり技巧的に過ぎますが、ラクに計算できる技巧を紹介しておきましょう。東大理系'10年[4]の問題に盛り込まれている考え方です(東大理系10年前期問題の[4]の検討を参照してください)。 
･･･⑤とおきます。
とすぐに計算できます。
の場合は、少々工夫します。 より、
･･･⑥⑤＋⑥より、
これより、
とすることもできますが、
として、以下のようにするともっとラクに行きます。 
(ここがポイント)第1項だけ置換積分して、
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，
(
)
とおくと、
，
，
のときu：
，
，
，
･･･④
より、
，
，
，
，
(
)
のとき、u：
であれば、
