東工大数学'23年前期[4]
xyz空間において、x軸を軸とする半径2の円柱から、
かつ
で表される角柱の内部を取り除いたものをAとする。また、Aをx軸のまわりに
回転してからz軸のまわりに
回転したものをBとする。AとBの共通部分の体積を求めよ。
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解答 こうした立体の体積を求める問題では、どうしても、どんな立体になるのだろう、と、立体の概形を考えたくなるものです。ですが、立体の概形をつかむことに時間をかけても、なかなか思うようにつかめません。
本問の基本問題として、円柱の内部を取り除くことなく、x軸を軸とする半径2の円柱と、y軸を軸とする半径2の円柱の共通部分を求める、という問題があります。立体の概形を把握することは困難ですが、z軸に垂直な平面
(
)で切った断面を考えることはできます。円柱を平面
で切ると、断面は長方形です。2つの円柱の共通部分を平面
で切ると、共通部分の断面は2つの同じ幅の長方形の共通部分となり、断面は正方形になります。あとは正方形の面積を積分すれば、立体の体積を計算することができます。
東大理系数学05年[6]では、x軸を軸とする半径rの円柱と、z軸を軸とする半径rの円柱の共通部分にさらにy軸を軸とする半径rの円柱がからむ、という設定になっています。とても立体の概形を想像もできませんが、やはり断面を考察することにより、解答できます。
本問も立体の概形は、2つの角柱が交わっている立体の概形、そして、この取り除かれる部分を考慮してAとBが交わっている状況を考えると、右図のようになります(AとBの共通部分の図ではないので注意)。ですが、この図を見ても、どのようになっているのかよくわかりません。また、どういう計算をすれば体積が求められるのか、ということにもつながりません。立体の概形を考えることに意味はないのです。
というわけで、本問でも断面を考察することになります。2円柱の共通部分の体積を求める問題と同様に、z軸に垂直な平面
で切った断面を考えることにします。立体が存在する部分に属する点
がどのような不等式を満たすのかを考え、不等式で
として、
が満たす不等式を調べれば、断面の状況をつかむことができます。
まずAに属する点
が満たす不等式を考えます(不等式の表す領域を参照)。
x軸を軸とする半径2の円柱内の点は、x座標にかかわらず、
･･･①
かつ
･･･②
または
･･･③
が満たす不等式は、①かつ③ということになります。
Aをx軸のまわりに
回転すると、①は変わりなく、yz平面上で不等式③の境界線
，
がどうなるかを考えると、直線
は、直線
に移り、直線
は、直線
に移り、直線
は、直線
に移り、直線
は、直線
に移ります。この結果③が表す領域は、
または
･･･④
回転すると、①かつ④が表す領域に移ります。
さらに、z軸のまわりに
回転(複素数平面上の回転を参照)するとき、xy平面上で点
が
に移るとして、
より、
，
これを①に代入すると、
，
として、
･･･⑤
，
，
として、
または
･･･⑥
が満たす不等式は、⑤かつ⑥ということになります。
以上より、AとBの共通部分にある点
が満たす不等式は、「①かつ③」かつ「⑤かつ⑥」、つまり、
AとBの共通部分を平面
で切った断面を考えます。⑦において、
として、
，
より、
であって、
です。AとBの共通部分は、
の部分と
の部分とで同じ形になるので、AとBの共通部分の体積は、
の部分の体積を2倍して求めます。
として⑧を整理して調べると、以下のようになります。
より、
･･･⑨
「
または
」より、
であればyは任意で、
であれば
または
･･･⑩
より、
･･･⑪
「
または
」より、
または
または
または
･･･⑫
つまり、
または
または
または
ここで、
であれば、
は明らかですが、
と
の大小関係が問題になります。差をとると、
よって⑫は、右図のように、
のとき、
となり、xは任意。
また、
における⑪の
と⑬の
との大小関係を調べておくと、
の解は
，
なので、上式右辺の分子は正で、
における⑨の
と⑩の1との大小関係は、
より、
以上より、t について場合分けすると、⑧すなわち、⑨かつ⑩かつ⑪かつ⑬は、
よって、平面
上で
の存在範囲は、右図の薄黄色着色部。 よって、平面
上で
の存在範囲は、右図の薄緑色着色部。 ・
のとき、
，かつ、「
または
」，かつ
，かつ、「
または
」 よって、平面
上で
の存在範囲は、右図の薄水色着色部。
よって、AとBの共有部分を平面
(
)で切ったときの断面積
は、
のとき、
のとき、
のとき、
求める体積は(被積分関数が同じところは積分区間をつなげて計算します。定積分を参照)、
は、
とおくと(置換積分を参照)、
，
，
，t：
のとき、u：
より、
は、右図黄色着色部のように、半径2の円の
と、底辺
高さ
の三角形の面積の和で(置換積分(その2)を参照)、
は、右図黄色着色部のように、半径2の円の
と、底辺1高さ
の三角形の面積の和で、
よって、
......[答]
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かつ「
または
」かつ
かつ「
または
」 ･･･⑦
かつ「
または
」かつ
かつ「
または
」 ･･･⑧
のとき、
となるので、
または
･･･⑬
のとき、x，yは任意、かつ、
，かつ
のとき、
，かつ、yは任意、かつ、「
または
」
