東大理系数学'08年前期[6]
座標平面において、媒介変数tを用いて
(
)
と表される曲線が囲む領域の面積を求めよ。
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解答 グラフを描け、という問題だとしても充分におもしろい関数ですが、ここでは、面積を問われているだけなので、微分して増減表を調べたりすると、大きく時間をロスするので注意してください。面積を求めるのに必要な情報を得ることを優先するべきです。
この問題の解答としては不必要ですが、一応、増減を確認しておきます。
とすると、
となりますが、
においては、
と、
，
を満たすα，β について、
，
の3解を持っています。
結局、増減を調べても、グラフは描けません。凹凸や、
，
のときのy座標など調べ出せば、どんどん時間をロスすることになります。
実は、グラフは右図のようになります。
では、どんどん、上下に葉が連なっていく感じになります。
ここでは、グラフを描くことなく考えることにします。まず、曲線が囲む領域について調べます。
･･･①
です。
とすると、①においては、
このとき、
曲線は、y軸と、4点
，
，
，
で交わります。
とすると、①においては、
この3つのtの値に対して、いずれも、
とすると、①においては、
このとき、
とすると、①においては、
で、
これで、グラフは①の範囲において少なくとも4本に枝分かれして、
で1点に集まっていること、x軸とは
以外の交点を持たないこと、
と逆側の
，
において、4本のうちの2本ずつが1点に集まることがわかります。
①の範囲において、
は、
の範囲を2往復するので、グラフは4本に枝分かれします。4本の枝は、①の範囲を分けて、
の部分の4本に分かれますが、この4本が交差するかどうかを調べておきます。
同一のx座標におけるyの値を比較することになるので、
，
とし、②，③，④，⑤におけるy座標を、
，
，
，
とします。
②，③において
より、
，
④，⑤において
より、
，
として、
は②，
は③を動き、
におけるy座標を比較すると、
∴ 
は④，
は⑤を動き、
におけるy座標を比較すると、
∴ 
従って、②，③，④，⑤の4本は、
において交差せず、上から、
，
，
，
の順に並び、曲線が囲む部分は、
と
が囲む部分、
と
が囲む部分の2つあることがわかります。微分してグラフを描く、ということをせずとも、これで、面積を求めるのには充分です。
面積を求めるにあたって、4本の枝の各範囲②～⑤に両端を含めて考えることにします。
，
，
，
が、
においてx軸と囲む面積を
，
，
，
とします。求める面積Sは、
です。
では、
と置換することにより、x：
のとき、t：
より、
同じような積分が出てくるので、
とおくと、
では、x：
のとき、t：
より、
(
の中のsinの項はゼロとなり、cosのみ残ることに注意してください)
，
では、それぞれ、x：
のとき、t：
，t：
ですが、
と同様に、
においても、
，
は消えて、
∴ 
......[答]
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