東大理系数学'19年前期[6]

複素数αβγδおよび実数abが、次の3条件をみたしながら動く。
条件1αβγδは相異なる。
条件2αβγδ4次方程式の解である。
条件3:複素数の実部は0であり、虚部は0でない。
(1) αβγδのうち、ちょうど2つが実数であり、残りの2つは互いに共役な複素数であることを示せ。
(2) baで表せ。
(3) 複素数がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。


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解答 4次関数のグラフを考察しようとしても、ab2文字が入っていて難しいので、実数係数の4次方程式では、zが解ならも解になる(高次方程式を参照)という事実を使って考察を進めます。迷子になってしまいそうな(2)の胆(きも)は、(1)よりとして、に気づくことなのですが(以下でEを導くところ)、これが、なかなか気づけません。δと書かずにと書くことにより気づき易くなると思います。そのために出題者は(1)を置いたのだろうと思います。

(1) 4次方程式は実数係数の方程式なので、αβがともに実数でない複素数なら、も解になり、 (でも同じ)とすると、は実数(xyを実数として、は実数です)となり、条件3に反します。
αβγδのうち、ただ1つだけ、あるいは3つが実数でない複素数、ということは、実数係数の方程式では起こり得ません。αが実数でない複素数の解なら、実数でない複素数も解になるからです。
αβγδがすべて実数解の場合、も実数であり、条件3に反します。
以上より、
αβγδのうち、ちょうど2つが実数であり、残りの2つは互いに共役な複素数です。

(2) (1)に加えて、αβが実数解で、γδが互いに共役な複数数解、あるいは、γδが実数解で、αβが互いに共役な複数数解ということも起こり得ません。が実数になり、条件3に反するからです。
従って、αβのどちらかが実数で他方が実数でない複素数、γδのどちらかが実数で他方が実数でない複素数です。
問題文の条件は、
αβに関して対称γδに関して対称なので、αγを実数、βδを互いに共役な複素数とし、とします(αδを実数、βγを互いに共役な複素数としても同じです)
αβγが、4次方程式の解なので、解と係数の関係より、
 ・・・@
 ・・・A
 ・・・B
 ・・・C
また、条件3よりの実部が0で虚部が0でないことからこの虚部をc (c:実数、)とおくと、 ・・・D
Aについて、
αγは実数なので、 (共役複素数を参照)より、であって、 ・・・E
pqを実数として、とおき、Dに代入すると、
よって、
または
以下、場合分けして調べます。


のとき、 (βは実数でない複素数なので、です)
@とより、 ・・・F
Bとより、
となるので、 ∴

Eより、 ・・・G
Cより、

のとき、
@より、 ∴  ・・・H
Bより、
より、 ∴
 ・・・I
Eより、 ・・・J
Dより、
どちらにしても、 ......[]

(3) (2)に沿って、の場合との場合に分けて考えます。(2)と同様に、 (pq:実数)とおきます。
のとき、 ()
また、F:,G:より、αγは、2次方程式の相異なる2実数解です(条件1)
とおくと、
(よりです)
これは、複素数平面上で、双曲線の部分です。
のとき、H:より、となります(βは実数でない複素数なのでです)。J:とI:より、αγは、2次方程式:の相異なる2実数解です。

とおくと、
(よりです)
複素数平面上で、双曲線の部分です。
どちらの場合も、複素数平面上で、双曲線の部分で、図示すると、右図太線(白マルを除く)



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