東大理系数学'19年前期[6]
複素数α，β，γ，δおよび実数a，bが、次の3条件をみたしながら動く。
条件1：α，β，γ，δは相異なる。
条件2：α，β，γ，δは4次方程式
の解である。 条件3：複素数
の実部は0であり、虚部は0でない。 (1) α，β，γ，δのうち、ちょうど2つが実数であり、残りの2つは互いに共役な複素数であることを示せ。
(2) bをaで表せ。
(3) 複素数
がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。
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解答 4次関数のグラフを考察しようとしても、a，bの2文字が入っていて難しいので、実数係数の4次方程式では、zが解なら
も解になる(高次方程式を参照)という事実を使って考察を進めます。迷子になってしまいそうな(2)の胆(きも)は、(1)より
として、
に気づくことなのですが(以下で⑥を導くところ)、これが、なかなか気づけません。δと書かずに
と書くことにより気づき易くなると思います。そのために出題者は(1)を置いたのだろうと思います。
(1) 4次方程式
は実数係数の方程式なので、α，βがともに実数でない複素数なら、
，
も解になり、
，
(
，
でも同じ)とすると、
は実数(x，yを実数として、
は実数です)となり、条件3に反します。 α，β，γ，δのうち、ただ1つだけ、あるいは3つが実数でない複素数、ということは、実数係数の方程式では起こり得ません。αが実数でない複素数の解なら、実数でない複素数
も解になるからです。α，β，γ，δがすべて実数解の場合、
も実数であり、条件3に反します。
以上より、α，β，γ，δのうち、ちょうど2つが実数であり、残りの2つは互いに共役な複素数です。
(2) (1)に加えて、α，βが実数解で、γ，δが互いに共役な複数数解、あるいは、γ，δが実数解で、α，βが互いに共役な複数数解ということも起こり得ません。
が実数になり、条件3に反するからです。 従って、α，βのどちらかが実数で他方が実数でない複素数、γ，δのどちらかが実数で他方が実数でない複素数です。
問題文の条件は、α，βに関して対称、γ，δに関して対称なので、α，γを実数、β，δを互いに共役な複素数とし、
とします(α，δを実数、β，γを互いに共役な複素数としても同じです)。α，β，γ，
が、4次方程式
の解なので、解と係数の関係より、 また、条件3より
の実部が0で虚部が0でないことからこの虚部をc (c：実数、
)とおくと、
･･･⑤
②について、α，γは実数なので、
(共役複素数を参照)より、
であって、
･･･⑥p，qを実数として、
とおき、⑤に代入すると、
①と
より、
･･･⑦
③と
より、
となるので、
∴ 
⑥より、
･･･⑧
④より、
・
のとき、 ①より、
∴ 
･･･⑨
③より、
，
より、
∴ 
･･･⑩
⑥より、
･･･⑪
⑤より、
どちらにしても、
......[答]
(3) (2)に沿って、
の場合と
の場合に分けて考えます。(2)と同様に、
(p，q：実数)とおきます。 また、⑦：
，⑧：
より、α，γは、2次方程式：
の相異なる2実数解です(条件1)。
∴ 
とおくと、
，
・
のとき、⑨：
より、
となります(βは実数でない複素数なので
です)。⑪：
と⑩：
より、α，γは、2次方程式：
の相異なる2実数解です。とおくと、
，
複素数平面上で、双曲線
の
の部分です。 どちらの場合も、複素数平面上で、双曲線
の
の部分で、図示すると、右図太線(白マルを除く)
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，
または
のとき、
(βは実数でない複素数なので、
です)
のとき、
(
)
(
より
です)
(
より
です)
の部分です。