東大理系数学'23年前期[6]
Oを原点とする座標空間において、不等式
，
，
の表す立方体を考える。その立方体の表面のうち、
を満たす部分をSとする。
以下、座標空間内の2点A，Bが一致するとき、線分ABは点Aを表すものとし、その長さを0と定める。
(1) 座標空間内の点Pが次の条件(i)，(ii)をともに満たすとき、点Pが動きうる範囲Vの体積を求めよ。
(i) 
(ii) 線分OPとSは、共有点を持たないか、点Pのみを共有点にもつ。
(2) 座標空間内の点Nと点Pが次の条件(iii)，(iv)，(v)をすべて満たすとき、点Pが動きうる範囲Wの体積を求めよ。必要ならば、
を満たす実数α (
)を用いてよい。 (iii) 
(iv) 線分ONとSは共有点を持たない。
(v) 線分NPとSは、共有点を持たないか、点Pのみを共有点に持つ。
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解答 計算力だけでなく、空間的感覚も必要な難問です。なお、本問は、立体をz軸に垂直な面で切って断面積を積分しようとすると、行き詰まります。
(1) 問題文の立方体は1辺2の立方体です。また、原点Oを中心とする半径
の球面をΣとします。立方体の表面のうち、
を満たす部分をSとするので、
，
，
を満たす部分である正方形Rの内部及び周の中のどこかの点
(
，
)を線分OPが通過するときには、線分OPとSは共有点を持ちません。このとき、(i)の
の条件より、Pは球面Σ及びその内部にあります。点A
，B
とすると、線分ABは立方体の1辺であり、正方形Rの1辺です。線分OPが線分AB上の点(S上の点ではない)と共有点をもつとき、線分OPはSと共有点を持たないので、Pは球面Σ及びその内部にあり、
より、線分OPが通過する範囲は、線分OA，OBに挟まれた半径
の扇形(以下扇形OABとします)になります。
線分OPがRの他の3辺と共有点を持つ場合も同様です。
こうして、線分OPが正方形Rの周上または内部の点を共有点を持つとき、Pの動く範囲は、球面Σと4つの扇形に囲まれた図形
(右図)となることが分かります。Sが立方体表面のうち、
ではなく例えば、
を満たす部分として与えられる場合にも、
と同様に、Pの動く範囲は、Oを中心とする半径
の球面と、4つの扇形に囲まれた図形であって、これを
とすると、
と
は全く同一の図形です。また、右上図のように、Oを通り線分AB上から僅かにずれた点を通過する直線を考えればわかる通り、
と
は、ともに扇形OABを含み扇形OABで接しています。
立方体には、6つの面がありますが、正方形R (
，
，
)以外のどの面についても同様で、全く同一の図形
ができます。しかもこれらはどれも半径
の扇形で接しており、これらの扇形で貼り合わせるように
を合わせると、球面Σ及びその内部になります。従って、
の体積は球の体積の
で、 図形
は、右図のように、立方体の内部となる四角錐と立方体の外側にある部分とに分けることができます。立方体の内部となる四角錐は、底面積
，高さ1で、体積は
ですが、この四角錐を6個合わせると体積8の立方体になります。
図形
のうち、立方体の外側になる部分の体積
は、 Pが正方形R上の点になるか、線分OPが正方形Rと共有点を持たない場合、Pの存在範囲は立方体の内部になり、この体積は
です。線分OPが正方形Rと共有点を持つ場合のPの存在範囲の体積は
です。
よって、点Pが動きうる範囲Vの体積は、 
......[答]
(2) (iii)，(iv)，(v)の条件は、(1)でOPが直線的だったのに対して、OPがNのところで折れ曲がっていてもよい、ということを意味しています。条件(iii)，(iv)より、Nの動きうる範囲は(1)の範囲VからS上を除いた範囲です。さらに、
(三角形の条件を参照)なので、
であり、O，N，Pが一直線上に並ぶ場合を考えれば、(1)の範囲V内の点は条件(iii)(iv)(v)を満たします。また、 
･･･①より、PはNを中心とする半径
の球内を動くことができます。よってPは、(1)の範囲V全体だけでなく範囲Vの外側も動くことができます。
そこで、点Pが動きうる範囲WがVからどれくらい広がるかを考えることにします。Nが範囲V内の立方体内(
，
，
)に位置する場合には、(v)の条件を満たす点Pは、立方体内にあるか、球面Σ及びその内部にあるので、範囲Vから外側には出て行きません。Pが範囲Vから外側に出るとき、NPを大きくとるためには、Nは(1)の図形
の境界面の
となる部分((1)右上の着色図の薄黄色の部分)のどこかに位置しなければなりません。Nが(1)右上図の立方体の頂点A
に位置するとき、
なので、①より、
となりPもAに来ます。Nが(1)右上図で辺ABの中点C
に位置するとき、
なので、①より、
となり、PはN (Cにいる)を中心とする半径
の球
内を動きます。(1)右上図で直線OCと、球面Σとの交点(2交点のうちCに近い方)をGとして、Nが線分CG上に位置するとき、PはNを中心とする半径
の球内を動きますが、この球は、先の
にGで接するように内接しており、Pが球
の外に出ることはありません(2円の位置関係を参照)。
Nが(1)右上図の線分AC上の点Q
(
)に位置するとき(右図)、
なので、①より、
となり、PはNを中心とする半径
の球
内を動きます。
このとき、直線OQと、原点を中心とする半径
の球面との交点(2交点のうちQに近い方)をHとして、Nが線分QH上に位置するとき、PはNを中心とする半径
の球内に来ますが、この球は、先の
にHで接するように内接しており、Pが球
の外に出ることはありません(2円の位置関係を参照)。
以上よりWがVから広がる部分については、qが
の範囲で変化し、Nが線分AC上の点Q
に来たときにできるNを中心とする半径
の球のうち、Vからはみ出る部分が通過する部分Tの体積を求めればよいことがわかります。
右図のように、三角形OABを含む平面と、Sのうち
となる面とは、角
をなすことに注意すると、Vからはみ出る部分Tをy軸に垂直な平面
で切った断面にできる円の
の部分の面積を積分することになります。また、
での積分と
での積分が等しく、線分BC上、また正方形Rの他の3辺も考え、
の範囲で積分したものを8倍(この体積を
とします)し、(1)のVの体積と加え合わせればよいことになります。
ですが、この体積
を、 として計算することはできません。なぜなら、NがCに来たとき(
)を除いて、直線OQは辺ABと垂直ではなく、Tを平面
(辺ABと垂直)で切ったときにできる断面の円の半径は
にならない ･･･(＊) からです。NがQ
に来たときにできる半径
の球
の球面の方程式は、 
･･･②qが
と変化するときに②及び内部のうちの
の部分が通過してできる立体Tをy軸に垂直な平面
で切ったときの断面の円を考えます。②で
とすると、 断面の円の方程式は、
･･･④となり、断面の円の半径が
にならないことがわかります。④の右辺は、
の範囲にあるqに対してできる各球面を平面
で切ったときの断面にできる円の半径の2乗ですが、hを固定してこの中で最大となるものを求めます。 とおくと、
とすると、
，
，
，
より、
は、
で
，
で
となるので、
は
において、最大値
･･･⑤をとります(関数の増減を参照)。つまり、立体Tを平面
で切ったときにできる断面の円の半径は、
あるいは
ではなく、
になります。 
注．上記の(＊)について検討してみます。⑤は、と書き直せるのですが、この意味を考えます。右図に立体Tを平面
(
)で切ったときの状況を示します。右図で、A，H，
，Gは球面Σ上の点で、
です。Q
(
)とOを結ぶ直線と球面Σとの交点(2交点のうちQに近い方)がHです。
右側の俯瞰した図で、Qを通りy軸に垂直な平面
を薄黄色で示しました。この面で立体Tを切った断面を考えています。この図を見ると、線分OHはy軸と垂直でないので、
が平面
上に来ないことが分かります。右の俯瞰図では、QよりもややC寄りの線分CA上の点
とOを結ぶ直線と球面Σとの交点(2交点のうち
に近い方)が
で、直線
がy軸と垂直になっています。線分
は、平面
上にあり、立体Tを平面
で切ったときに断面にできる円の半径になっています。上記では微分して、
が
のとき最大値
をとることを求めましたが、右図で、直線
とy軸との交点をKとすると、
はy軸と垂直なので、 こうして、⑤より、断面の円の面積の
を積分し、 
は、
，つまり、
とx軸の間の
の部分(右図黄緑色着色部)の面積と見て、半径
の円の面積の
の部分
と、底辺1高さ
の三角形の面積
の和として
(置換積分(その2)を参照)，よって、求める体積は、(1)の結果より、
......[答]
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なので、
となっていて、これが断面にできる円の半径になります。微分するのではなく、最初から図形的に考えて、
における断面の円の半径
を求めることもできます。
