早大理工数学'21[3]

複素数に対応する複素数平面上の点をとする。このとき、以下の問に答えよ。
(1) 複素数平面上の点と原点O3点は一直線上にあることを示せ。
(2) が直線AB上を動くとき、の実部をx,虚部をyとして、点の軌跡をxyの方程式で表せ。
(3) が三角形OABの周および内部にあるとき、点全体のなす図形をKとする。Kを複素数平面上に図示せよ。
(4) (3)の図形Kの面積を求めよ。


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解答 という変換で三角形がどんな図形に移るか、という問題です。

(1) (複素数の計算を参照)より、
これは、と原点O3点が一直線上にある(複素数の図形的応用を参照)ことを意味します。
(2) は、虚部が等しいので、直線AB上の点は、rを実数()として、 と表せます。より
 ・・・@
より、,点軌跡は、放物線 ......[]
(3) 線分AB上の点は、@においてより、zが線分AB上にあるとき、点は、放物線:の部分に来ます。
線分OA上の点zは、として、となるので、 ()より、点は、原点Oと点を結ぶ線分、つまり、直線 ()の部分に来ます。
線分
OB上の点zは、として、となるので、 ()より、点は、原点Oと点を結ぶ線分、つまり、直線 ()の部分に来ます。
(1)よりOは一直線上にあるので、三角形OABの内部は、直線,放物線で囲まれた内部に移ります。よって、Kを図示すると、右図黄緑色着色部(境界線を含む) ......[]
注.三角形OABの内部が、右図の境界線の内部に移ることについては、線分AB上の点について (は放物線の弧CD上の点)として、線分OP上の点 ()に対してより線分上にあることから明らかです。
(4) Kの面積Sは、直線と放物線とで囲まれる部分(Kの範囲にある)面積で、
 (定積分の公式を参照)
......[
]



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