早大理工数学'22年[1]
,
とおく。xy平面上の曲線
をC,曲線
をDとする。以下の問に答えよ。
(1) CとDの概形を一つのxy平面上に描け。
(2) CとDによって囲まれた部分の面積Sを求めよ。
(3) CとDによって囲まれた部分を、x軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ。
解答 (3)の積分は、難しくはありませんが、紛らわしく非常に面倒で、試験会場では後回しにするのが賢明です。
(1)
,
より、C:
のグラフは単調増加で下に凸です。
,
とすると、
,
とすると、
,
,
,以上より、
の増減表は以下のようになります。
とすると、
C,Dは、
,
において交わります。
また、
,
,
,
CとDの概形は、右図のようになります。
(2)
とすると、
CとDによって囲まれた部分は、
の範囲にあります。よって、その面積Sは、
......[答]
とすると、
∴ 
とすると、
∴ 
(1)の解答のグラフに
,
のグラフを重ねて描くと右図のようになります。グラフより、CとDによって囲まれた部分(黄色着色部)を、x軸の周りに1回転させると(
回転すると黄緑色着色部に来ます)、外側に来るのは、
においてはD:
,
においてはC:
です。
回転体の内側でくり抜ける部分の境界に来るのは、
においてはC:
,
においてはD:
です。
これより、求める立体の体積Vは、
(
:積分定数)
(
:積分定数)として、以下、積分定数を省略すると、
∴
......[答]
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