早大理工数学'22年[1]
，とおく。xy平面上の曲線をC，曲線をDとする。以下の問に答えよ。
(1) CとDの概形を一つのxy平面上に描け。
(2) CとDによって囲まれた部分の面積Sを求めよ。
(3) CとDによって囲まれた部分を、x軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ。
解答　(3)の積分は、難しくはありませんが、紛らわしく非常に面倒で、試験会場では後回しにするのが賢明です。

(1) ，より、C：のグラフは単調増加で下に凸です。
，
とすると、，
とすると、，
，，以上より、の増減表は以下のようになります。
x　0　　
−−−0＋
−0＋＋＋

とすると、
　∴ 　∴
C，Dは、，において交わります。
また、，，，
CとDの概形は、右図のようになります。

(2) とすると、
CとDによって囲まれた部分は、の範囲にあります。よって、その面積Sは、
......[答]

(3) とすると、
　∴ 　∴
とすると、　∴
とすると、　∴
(1)の解答のグラフに，のグラフを重ねて描くと右図のようになります。グラフより、CとDによって囲まれた部分(黄色着色部)を、x軸の周りに1回転させると(回転すると黄緑色着色部に来ます)、外側に来るのは、
においてはD：，においてはC：です。
回転体の内側でくり抜ける部分の境界に来るのは、
においてはC：，においてはD：です。
これより、求める立体の体積Vは、
　(：積分定数)
　(：積分定数)
として、以下、積分定数を省略すると、









∴ ......[答]

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