早大理工数学'22[1]

とおく。xy平面上の曲線C,曲線Dとする。以下の問に答えよ。
(1) CDの概形を一つのxy平面上に描け。
(2) CDによって囲まれた部分の面積Sを求めよ。
(3) CDによって囲まれた部分を、x軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ。

解答 (3)の積分は、難しくはありませんが、紛らわしく非常に面倒で、試験会場では後回しにするのが賢明です。

(1) より、Cのグラフは単調増加で下に凸です。

とすると、
とすると、
,以上より、の増減表は以下のようになります。

x 0  
0
0

とすると、
 ∴  ∴
CDは、において交わります。
また、

CDの概形は、右図のようになります。

(2) とすると、
CDによって囲まれた部分は、の範囲にあります。よって、その面積Sは、
......[]

(3) とすると、
 ∴  ∴
とすると、 ∴
とすると、 ∴
(1)
の解答のグラフにのグラフを重ねて描くと右図のようになります。グラフより、CDによって囲まれた部分(黄色着色部)を、x軸の周りに1回転させると(回転すると黄緑色着色部に来ます)、外側に来るのは、
においては
DにおいてはCです。
回転体の内側でくり抜ける部分の境界に来るのは、
においては
CにおいてはDです。
これより、求める立体の体積
Vは、
 (:積分定数)
 (:積分定数)
として、以下、積分定数を省略すると、









......[]


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