早大理工数学'22年[1]
，
とおく。xy平面上の曲線
をC，曲線
をDとする。以下の問に答えよ。
(1) CとDの概形を一つのxy平面上に描け。
(2) CとDによって囲まれた部分の面積Sを求めよ。
(3) CとDによって囲まれた部分を、x軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ。
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解答 (3)の積分は、難しくはありませんが、紛らわしく非常に面倒で、試験会場では後回しにするのが賢明です。
，
(合成関数の微分法を参照)
とすると、
，
(対数関数を参照。以下において、
のとき
，
のとき
，
のとき
となります)
とすると、
，
，
，以上より、
の増減表は以下のようになります。
とすると、
C，Dは、
，
において交わります。
また、
，
，
，
以上より、CとDの概形は、右図のようになります。
(2) 
とすると、
CとDによって囲まれた部分は、
の範囲にあります。よって、その面積Sは、 
......[答]
とすると、
∴ 
とすると、
∴ 
(1)の解答のグラフに
，
のグラフを重ねて描くと右図のようになります。グラフより、CとDによって囲まれた部分(黄色着色部)を、x軸の周りに1回転させると、外側に来るのは、
においてはD：
，
においてはC：
です。
回転体の内側でくり抜ける部分の境界に来るのは、
においてはC：
，
においてはD：
です。
これより、求める立体の体積Vは、
(
：積分定数)
(
：積分定数)として、以下、積分定数を省略すると、
これらを①に代入して、
∴ 
......[答]
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∴ 
∴ 
(3) 
とすると、
∴ 
∴ 
･･･①
のグラフは