早大理工数学'22[5]

を定数とし、とする。以下の問に答えよ。
(1) を求めよ。必要ならばが成り立つことは証明なしに用いてよい。
(2) 曲線の変曲点がx軸上に存在するときのaの値を求めよ。さらにそのときのグラフの概形を描け。
(3) に対して、曲線上の点における接線をとする。y軸の負の部分と交わるためのの条件を求め、その条件の表す領域をat平面上に図示せよ。

解答 を示すとき、 ()の最小値m ()を求め、の各辺にをかけて、とし、としてはさみうちにするというのが常套手段です。本問では、を使え、といいう指示がついています。

(1) において、を考えます。
とすると、より、 ∴
のとき、
増減表は、以下のようになります。

x0  
×0
y×

増減表より、において、
においては、より、
各辺にをかけると、
ここで、とすると、より、,よって、はさみうちの原理より、
......[]
別解.を利用せよ、というヒントがついているので、とを見比べて、とおき両辺の対数を考え、
において、とおくとであって、のときとなり、
 ∴

(2) () ・・・@
とすると、より、 ∴
とすると、より、となりますが、のときには解がなく、より、変曲点はできません。のときには、
 ∴
このとき、より、変曲点がx軸上に存在するとき、
 ∴ ......[]
のとき、となるxは、,このときとなるxは、,このときのyは、,増減表は、
x0  1 
×0
×0
y×0

増減表と(1)より、のグラフは右図。

(3) における接線は、 ( @)より、
y軸の負の部分と交わるために、
より、
のとき、 ・・・A
のとき、 ・・・B
のとき、 ・・・C
ここで、として、関数
()を考えます。
()
とすると、,このとき、
のとき
a0 1  
×
×0
te×


,A,B,Cより、求める領域を図示すると、右図黄緑色着色部
(境界線上を除く)



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