早大理工数学'22年[5]
を定数とし、
とする。以下の問に答えよ。
(1) 
を求めよ。必要ならば
が成り立つことは証明なしに用いてよい。 (2) 曲線
の変曲点がx軸上に存在するときのaの値を求めよ。さらにそのとき
のグラフの概形を描け。 (3) 
に対して、曲線
上の点
における接線を
とする。
がy軸の負の部分と交わるための
の条件を求め、その条件の表す領域をat平面上に図示せよ。
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解答 
を示すとき、
(
)の最小値m (
)を求め、
の各辺に
をかけて、
とし、
としてはさみうちにするというのが常套手段です。本問では、
を使え、という指示がついています。
(1) 
において、
を考えます。微分すると、 
とすると、
より、
∴ 
(対数関数を参照)
のとき、
増減表は、以下のようになります。増減表より、
において、
，
においては、
より、
各辺に
をかけると、
......[答]別解．
を利用せよ、というヒントがついているので、
と
とを見比べて、
とおき両辺の対数を考え、
，
において、
とおくと
であって、
のとき
となり、 
∴ 
とすると、
より、
∴ 
とすると、
より、
となりますが、
のときには解がなく、
より、変曲点はできません。
のときには、
∴ 
このとき、
より、変曲点がx軸上に存在するとき、
∴ 
......[答]
のとき、
となるxは、
，このとき
となるxは、
，このときのyは、
増減表は、増減表と(1)より、
のグラフは右図(このとき、確かに変曲点はx軸上に存在します)。
がy軸の負の部分と交わるために、
･･･②
より、
のとき、
，
･･･③
のとき、
，
･･･④
のとき、②より、
つまり
･･･⑤
ここで、
として、関数
(
)を考えます。
のとき
，
，
，③，④，⑤より、求める領域を図示すると、右図黄緑色着色部(境界線上を除く)。
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(
)，
･･･①
(
)
とすると、
，このとき、
とすると、
より、
，よって、
，
