電磁場テンソル
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物理法則は全ての座標系において共変であるべき、というアインシュタインによる相対性の要請(計量テンソルを参照)により、マクスウェルの方程式も座標変換に対して共変であるべきです。共変であるかどうかを調べるために、マクスウェルの方程式をテンソルを用いて表現することを考えます。
空間内の各点において、電界を
，磁界を
，誘電率をε，透磁率をμとして、電束密度は
，磁束密度は
，また、電荷密度をρ，電流密度を
として、
マクスウエルの方程式：
及び、①と③より導かれる、電荷保存の式：
･･･⑤
より磁界
，電界
を求める式、
，
⑥
適当な関数χを用いたゲージ変換：
，
･･･⑦
ベクトル・ポテンシャル
を拡張し、ϕを含めて、4元ベクトル
を考えます。これを、
と書き、4元ベクトル・ポテンシャルと言います。λは、
を表し、
，
，
，
です。
，
はAの2乗、3乗という意味ではなく、
の第2成分、第3成分という意味です。
は反変ベクトルです。これに対して、計量テンソル
を用いて、共変ベクトル
を
として定めます。ローレンツ変換によって座標変換を行うミンコフスキー時空においては、計量テンソル
は、
です。
ここで、偏微分
を
と書き、4元ベクトルポテンシャル
を用いて、電磁場テンソル：
･･･⑧
，磁界
は、
⑧より、
は添字λ，νの入れ替えに対して、反対称(
)なので、
となります。
マクスウェルの方程式の②と④は、
･･･⑨
通りの式を表すように見えますが、λ，ν，σのうちに等しいものがあると、例えば、
だとすると、
であり、また、
であって、⑨の左辺は恒等的に0です(
が反対称テンソルだからです)。⑨の左辺で意味があるのは、λ，ν，σが相異なるときだけです。⑨はλ，ν，σについて対称なので、λ，ν，σが循環的入れ替わったものは同じ式になります。よって、⑨は、実質的に
の4通りの場合に異なる方程式になります。⑨は、それぞれ、
のとき、
のとき、
のとき、
この3つの式でマクスウェルの方程式の④を与えます。
のとき、
これは、マクスウェルの方程式の②です。
電荷密度をρ，電流ベクトルを
として、4元電流密度を
とし、共変テンソル
から反変テンソル
を、
として作ります。例えば、
であって、
は
のときのみ
，
は
のときのみ
で、
，
のようになっています。
これを用いて、マクスウェルの方程式の①と③は、
･･･⑩
のとき、⑩は、
より、
，これはマクスウェルの方程式の①です。
のとき、⑩は、
のとき、⑩は、
のとき、⑩は、
以上の3式を合わせて、
，これはマクスウェルの方程式の③です。
以上より、マクスウェルの方程式①～④は、次の2式にまとめられます。
･･･⑨
･･･⑩
電荷保存の式：
は、4元ベクトルで書くと、
即ち、
･･･⑪ という形になります。
⑩を用いても、両辺を
で微分しλについて和をとると、
この右辺は、λ，νについて対称な形をしており、
，また、
が反対称テンソルであることを考えると、0になります。つまり、⑪は⑩からも導けます。
マクスウェルの方程式⑨，⑩がローレンツ変換を受けるとどうなるかを考えます。K系の座標
→
系の座標
のローレンツ変換を表すテンソル
を、
のように見ると、K系の電磁場テンソル
にローレンツ変換を行うと、
系では、
･･･⑫
⑫の両辺を
で微分すると、
ローレンツ変換では、
も逆変換の
も各成分は、
，
の1次関数か、もしくは定数なので、
，
は定数で、
です。よって、
は
のみに働き、連鎖定理を使って、
･･･⑬
，
，
，
，
，
とすると、
･･･⑭
，
，
，
，
，
とすると、
･･･⑮
よって、⑨：
であれば、
であって、⑨は、ローレンツ変換をしても形を変えません。
K系の電流密度ベクトル
はローレンツ変換により、
に変換され、電磁場テンソル
は、ローレンツ変換により、
に変換されます。これを
で微分すると、
⑩も、ローレンツ変換により形を変えないことがわかります。
つまり、マクスウェルの方程式は、ローレンツ変換により形を変えないことがわかります。即ち電磁波の伝播速度即ち真空中の光速
はどの座標系においても変わらない、ということです。
ローレンツ・ゲージ：
即ち
は、4元ポテンシャル
を用いて
と表せるので、ローレンツ変換により形を変えません。ローレンツ・ゲージを選んだ場合のポテンシャルϕ，
が満たすべき方程式は、
･･･⑯
･･･⑰
と表されるので、やはりローレンツ変換により形を変えません。
注．クーロン・ゲージは、テンソル形式で表現できず、ローレンツ変換を施すと形を変えてしまいます。
以上の流れを見ていると、物理法則をテンソルを使って表現できれば、ローレンツ変換に対して共変である、ということが言えそうです。
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･･･① 
･･･② 
･･･③ 
･･･④ 
，つまり、
，つまり、
，つまり、
