京大物理'20年前期[1]

京大物理'20年前期[1]

次の文章を読んで、　　に適した式または数値を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、　　はすでに　　で与えられたものと同じものを表す。また、問1では、指示にしたがって、解答を解答欄に記入せよ。

以下では、ばね定数kで自然長

のばね、および長さLの糸を用いる。ばねや糸の質量は無視できるものとし、重力加速度の大きさを

，円周率をπとする。

(1) 図1のように、質量mの2つの小球(質点)を糸とばねでつるし、つり合いの位置で静止させた。2つの小球は鉛直方向にのみ運動するものとし、糸がたるんでいないときの小球1の位置を原点として、鉛直下向きを座標軸の正の向きとする。また、小球1は天井にぶつからず、小球同士は衝突しないものとする。

いま、小球2をつり合いの位置から長さdだけ引き下げ、静かに手を離す。dが十分に小さいときは、運動の途中で糸はたるまず、小球2は位置　ア　を中心とした、振幅　イ　の単振動をおこなう。dがある値より大きいときは、運動の途中で糸がたるむ。小球1にはたらく重力、糸の張力、ばねの力のつり合いを考えると、糸がたるみ始めた瞬間の小球2の位置はm，

，k，

を用いて　ウ　と表されるので、運動の途中で糸がたるむための条件は、d > 　エ　とわかる。
次に、dが十分に大きく、糸がたるむ場合の運動を考えよう。小球1，2の位置をそれぞれ

，

とし、重心の位置

，および小球1からみた小球2の相対位置

について、糸がたるみ始めてから再びたるみがなくなるまでの運動を考える。2つの小球にはたらくばねの力は、互いに逆向きで大きさが等しいので、重心はばねの力の影響を受けずに鉛直投げ上げ運動をおこなう。糸がたるみ始めた瞬間における重心の速さをm，

，k，dを用いて表すと　オ　となる。一方、2つの小球にはたらく重力は、向きが同じで大きさが等しいので、相対位置xは重力の影響を受けずにばねの力で単振動をおこない、その周期は　カ　で与えられる。また、小球1の速度が最小値をとる瞬間において、小球1からみた小球2の相対速度は　キ　×　オ　とわかる。

(2) 図2のように、質量mの2つの小球(質点)をばねと糸でつるす。2つの小球は鉛直方向にのみ運動するものとし、ばねが自然長のときの小球1の位置を原点として、鉛直下向きを座標軸の正の向きとする。いま図3のように、小球2を支えて静止させたところ、糸はたるまず張力が0であり、小球1も静止していたとする。このとき、小球1の位置は　ク　である。この状態から、時刻0に小球2を上方に速さvで打ち上げた。

まず、打ち上げ後に、小球2が小球1に衝突せず落下に転じる場合を考える。小球2が落下し、打ち上げられた位置に戻ってきたとき、糸のたるみがなくなる。たるみがなくなる前後で小球1，2の力学的エネルギーの和は保存されるものとすると、たるみがなくなった直後には、小球2の速度は　ケ　であり、小球1は振幅が　コ　の単振動を始める。
次に、打ち上げ後に、小球2が落下せず小球1と弾性衝突する場合を考える。衝突直後の小球1の速さ

は、v，

，Lを用いて　サ　と表される。衝突後、2つの小球は糸がたるんだまま運動し、小球1が衝突時の位置に戻るまでのある時刻Tに糸のたるみがなくなった。その直後からしばらくの間、糸のたるみがないまま運動が続く条件を考えよう。まず、時刻Tに、小球の間の距離はLである。また、たるみがなくなる前後で小球1，2の力学的エネルギーの和は保存されるものとすると、時刻Tの直後に糸がたるまないためには、時刻Tの直前に小球1からみた小球2の速度は　シ　でなければならない。よって、小球1にはたらくばねの力Fは、時刻Tの直前に

である(鉛直下向きを正とする)。一方、時刻Tには糸のたるみがないため張力が0以上であるが、そのとき

ならば直後に糸がたるんでしまう。以上のことより、いま考えている運動においては、時刻Tに小球1の位置は　ス　でなければならない。2つの小球の力学的エネルギーが、衝突後から時刻Tの間はそれぞれ保存することを考えると、得られた条件より打ち上げの速さvは、m，

，k，Lを用いて表される関係式

= 　セ　を満たすことがわかる。

問1　小球同士が弾性衝突した時刻を

とする。図4を解答欄に描き写し、時刻0からTまでの、小球の速度を表すグラフを描け。なお、小球1を実線で、小球2を二重線で表すこととする。図4に示されている値以外に、速度や時間の値を書き加える必要はない。

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解答　微妙な点を深く熟考しなければいけない問題です。

(1) 単振動の中心はつり合いの位置です。ばねの自然長からののびを

として、重力と弾性力のつり合いから、

　∴

　･･･①

小球2の振動中心の位置は、

......[ア]
手を離した位置が振動端となり、振幅は、振動端と振動中心との距離で、d ......[イ]
小球1に働く力は、糸の張力S(上向き)，重力

(下向き)，ばねの縮みを

として、弾性力

(上向き)，糸がたるんでいないときのつり合いより、

　∴

糸がたるむ瞬間に

となり、ばねの縮みは、

　･･･②
たるみ始めるときの小球2の位置は、

......[ウ]
小球2の単振動において、手を離した位置とは逆の振動端(振動中心から振幅dだけ上)の位置

が、[ウ]より上に来ればたるむので(座標軸は鉛直下無が正)、

　∴

......[エ]

糸がたるみ始めるまで、小球1は

に静止していて、小球2は単振動しています。手を離したときの小球2の弾性力＋重力の位置エネルギーは

(つり合いの位置からの変位を考えます)，糸がたるむ瞬間に、このときの小球2の速さを

として運動エネルギーは

，小球2はつり合いの位置より

変位しているので、弾性力＋重力の位置エネルギーは

，手を離したときと糸がたるむ瞬間との力学的エネルギー保存より、

　∴

小球1の速さは

なので、重心の速さは、

......[オ]

問題文にある通り、糸がたるみ始めた以後は、重心は鉛直投げ上げ運動、相対位置xは単振動します(問題文が紛らわしいので注意)。
小球1の運動方程式は、小球1の加速度を

として、

　･･･③

小球2の運動方程式は、小球2の加速度を

として、

　･･･④

③＋④とすると、

となり、重心の加速度は、

④－③とすると、

，相対加速度は、

これより、相対位置xは、角振動数

の単振動となります。その周期は、

......[カ]

糸がたるみ始めたとき、ばねの縮みは②より

で小球1の速度は0，以後、小球1に働く力は、縮んだばねが小球1を上向きに押す力の大きさが下向きの重力の大きさを上回り、小球1は上向きに加速されます(小球1の上向きの速さは増大するが、速度は負になり減少し、加速度は負)。ばねが最も縮んだところから伸び始め、ばねの縮みが

となり弾性力と重力がつり合った瞬間に、小球1の加速度が0となり小球の速度が最小値をとります。
糸がたるみ始めたとき、ばねの縮みは

で小球1の速度は0，小球2の速度は上向きで

，相対速度は

です。小球1の速度が最小になるとき、ばねの縮みは

となりたるみ始めたときに戻るので、相対位置xが単振動していることから、相対速度は、たるみ始めたときと向きを変え、大きさは等しく

となります。これは、[オ]の2倍です。2 ......[キ]

(2) 小球1には張力が働かず、①と同様に小球1に働く力がつり合うとき、ばねは

伸びるので、このときの小球1の位置は、

......[ク]

打ち上げ後に衝突しない場合、小球2が打ち上げられた位置に戻りたるみがなくなる直前、小球2は下向きに速さvで落下します。たるみがなくなる直後、小球1の速度を

，小球2の速度を

とすると、たるみがなくなる前後での力学的エネルギー保存より、

　･･･⑤

運動量保存より、

　･･･⑥

⑥より、

，⑤に代入し、

，

小球1は単振動すを始めるので、

，よって、

，

たるみがなくなった直後の小球2の速度は、0 ......[ケ]
小球1の、たるみがなくなった直後(振動中心)と単振動最下点との力学的エネルギー保存より、求める振幅をAとして、

　∴

......[コ]

打ち上げ後に弾性衝突する場合、小球2の衝突直前の速さを

として、打ち上げたときと衝突直前との力学的エネルギー保存より、

　∴

衝突直後の小球2の速度を

として(小球1の速度は

)、衝突前後での運動量保存より、

　･･･⑦

弾性衝突の反発係数の式は、

　∴

，⑦に代入し、

　∴

......[サ]

また、

となり、衝突直後から小球2は自由落下します。糸のたるみがなくなる時刻Tの直前に、糸は伸びないので、小球2の速さが小球1の速さより大きくなることはありません。また、小球1の速さが小球2の速さより大きくなると糸はたるんでしまいます。従って、小球1と小球2の速さは等しく向きも同じで、小球1からみた小球2の速度は、0 ......[シ]
つまり、小球1の速度は下向きなので、小球2の速度も下向き、小球2には重力