京大物理'20年前期[1]
次の文章を読んで、 に適した式または数値を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、 はすでに で与えられたものと同じものを表す。また、問1では、指示にしたがって、解答を解答欄に記入せよ。
以下では、ばね定数kで自然長
のばね、および長さLの糸を用いる。ばねや糸の質量は無視できるものとし、重力加速度の大きさを
,円周率をπとする。
(1) 図1のように、質量mの2つの小球(質点)を糸とばねでつるし、つり合いの位置で静止させた。2つの小球は鉛直方向にのみ運動するものとし、糸がたるんでいないときの小球1の位置を原点として、鉛直下向きを座標軸の正の向きとする。また、小球1は天井にぶつからず、小球同士は衝突しないものとする。
(2) 図2のように、質量mの2つの小球(質点)をばねと糸でつるす。2つの小球は鉛直方向にのみ運動するものとし、ばねが自然長のときの小球1の位置を原点として、鉛直下向きを座標軸の正の向きとする。いま図3のように、小球2を支えて静止させたところ、糸はたるまず張力が0であり、小球1も静止していたとする。このとき、小球1の位置は ク である。この状態から、時刻0に小球2を上方に速さvで打ち上げた。
問1 小球同士が弾性衝突した時刻を
とする。図4を解答欄に描き写し、時刻0からTまでの、小球の速度を表すグラフを描け。なお、小球1を実線で、小球2を二重線で表すこととする。図4に示されている値以外に、速度や時間の値を書き加える必要はない。
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解答 微妙な点を深く熟考しなければいけない問題です。
(1) 単振動の中心はつり合いの位置です。ばねの自然長からののびを
として、重力と弾性力のつり合いから、
∴
・・・@小球2の振動中心の位置は、
......[ア]手を離した位置が振動端となり、振幅は、振動端と振動中心との距離で、d ......[イ]小球1に働く力は、糸の張力S(上向き),重力
(下向き),ばねの縮みを
として、弾性力
(上向き),糸がたるんでいないときのつり合いより、
∴ 
糸がたるむ瞬間に
となり、ばねの縮みは、
・・・A
たるみ始めるときの小球2の位置は、
......[ウ]小球2の単振動において、手を離した位置とは逆の振動端(振動中心から振幅dだけ上)の位置
が、[ウ]より上に来ればたるむので(座標軸は鉛直下無が正)、
∴
......[エ]糸がたるみ始めるまで、小球1は
に静止していて、小球2は単振動しています。手を離したときの小球2の弾性力+重力の位置エネルギーは
(つり合いの位置からの変位を考えます),糸がたるむ瞬間に、このときの小球2の速さを
として運動エネルギーは
,小球2はつり合いの位置より
変位しているので、弾性力+重力の位置エネルギーは
,手を離したときと糸がたるむ瞬間との力学的エネルギー保存より、
∴ 
小球1の速さは
なので、重心の速さは、
......[オ]問題文にある通り、糸がたるみ始めた以後は、重心は鉛直投げ上げ運動、相対位置xは単振動します(問題文が紛らわしいので注意)。
小球1の運動方程式は、小球1の加速度を
として、
・・・B小球2の運動方程式は、小球2の加速度を
として、
・・・CB+Cとすると、
となり、重心の加速度は、
C−Bとすると、
,相対加速度は、
これより、相対位置xは、角振動数
の単振動となります。その周期は、
......[カ]
糸がたるみ始めたとき、ばねの縮みはAより
で小球1の速度は0,以後、小球1に働く力は、縮んだばねが小球1を上向きに押す力の大きさが下向きの重力の大きさを上回り、小球1は上向きに加速されます(小球1の上向きの速さは増大するが、速度は負になり減少し、加速度は負)。ばねが最も縮んだところから伸び始め、ばねの縮みが
となり弾性力と重力がつり合った瞬間に、小球1の加速度が0となり小球の速度が最小値をとります。
糸がたるみ始めたとき、ばねの縮みは
で小球1の速度は0,小球2の速度は上向きで
,相対速度は
です。小球1の速度が最小になるとき、ばねの縮みは
となりたるみ始めたときに戻るので、相対位置xが単振動していることから、相対速度は、たるみ始めたときと向きを変え、大きさは等しく
となります。これは、[オ]の2倍です。2 ......[キ]
(2) 小球1には張力が働かず、@と同様に小球1に働く力がつり合うとき、ばねは
伸びるので、このときの小球1の位置は、
......[ク] 打ち上げ後に衝突しない場合、小球2が打ち上げられた位置に戻りたるみがなくなる直前、小球2は下向きに速さvで落下します。たるみがなくなる直後、小球1の速度を
,小球2の速度を
とすると、たるみがなくなる前後での力学的エネルギー保存より、
・・・D運動量保存より、
・・・EEより、
,Dに代入し、
,
小球1は単振動すを始めるので、
,よって、
,
たるみがなくなった直後の小球2の速度は、0 ......[ケ]
小球1の、たるみがなくなった直後(振動中心)と単振動最下点との力学的エネルギー保存より、求める振幅をAとして、
∴
......[コ]
打ち上げ後に弾性衝突する場合、小球2の衝突直前の速さを
として、打ち上げたときと衝突直前との力学的エネルギー保存より、
∴ 
衝突直後の小球2の速度を
として(小球1の速度は
)、衝突前後での運動量保存より、
・・・F弾性衝突の反発係数の式は、
また、
となり、衝突直後から小球2は自由落下します。糸のたるみがなくなる時刻Tの直前に、糸は伸びないので、小球2の速さが小球1の速さより大きくなることはありません。また、小球1の速さが小球2の速さより大きくなると糸はたるんでしまいます。従って、小球1と小球2の速さは等しく向きも同じで、小球1からみた小球2の速度は、0 ......[シ]つまり、小球1の速度は下向きなので、小球2の速度も下向き、小球2には重力
しか働かないのに、小球1が小球2に追いついてくるということは、小球1に働く重力
以外の力、すなわち弾性力Fが
となるはずです。ただし、
では、小球2には重力
しか働かないのに、小球1には重力
に加えてばねの下向きの弾性力Fも働くことになり、時刻T以後、小球1の速さが小球2の速さよりも大きくなり、糸がたるんでしまいます。従って、
,よって、ばねの長さは自然長で、時刻Tに小球1の位置は
......[ス]小球2を投げ上げるとき、小球2の運動エネルギーは
,重力の位置エネルギーは
,小球1の弾性力+重力のエネルギーは0,時刻Tに糸のたるみがなくなったとき、小球1と小球2の速さを
として([シ]より両者の速度は等しい)、運動エネルギーはともに
,小球1の弾性力+重力の位置エネルギーは
,小球2の重力の位置エネルギーは
ここで、小球2の衝突直後と時刻Tとの力学的エネルギー保存より、
・・・G弾性衝突においては力学的エネルギーは保存されるので、小球2を投げ上げたときと時刻Tとの力学的エネルギー保存より、
Gを代入して、
∴
......[セ]
問1 右図
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