山梨大医数学'09年[4]
放物線A：
上の点
(
)における接線に関して、Aの頂点と対称な点Pのx座標、y座標を
，
と表し、
が描く曲線をBとする。
(2) 
とする。
を満たす実数uに対して、曲線Bとx軸、直線
によって囲まれる図形の面積を
とするとき、
を求めよ。 (3) 直線
に関して放物線Aと対称な放物線をCとする。放物線Cをy軸方向に2倍拡大した放物線をDとする。放物線Dと放物線Aによって囲まれる図形の面積を求めよ。 (4) 直線
と放物線Dによって囲まれる図形を直線
の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ。
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解答 数学Ⅲ全般にわたってボリューム満点のこういう問題こそ、入試準備の演習課題として効率的で最適、という問題です。(3)の定積分は素直に計算すると、xにマイナスがついているのがいやらしく、充分注意して(危なければ、
などとおいて置換積分する)計算する必要があります。
(1) A：
Aの方程式両辺をxで微分して、
点
における接線：
･･･①
原点O(放物線Aの頂点)を通り①と垂直な直線：
･･･②
①，②を連立して、 ∴ 
②より、
Aの頂点と点P(①に関してAの頂点と対称)を結ぶ線分OPの中点が、①と②の交点になります。よって、Pの座標は
∴ 
，
......[答]
(2) 
です。
，
より、
であることに注意します。
のときP
ですが、
のとき、
より、
より
なので、これが曲線Bの方程式になります。
のとき
なので
の場合を含んでいます。曲線Bとx軸、直線
(
)によって囲まれる図形(右図黄色着色部分)の面積
は、 (分母がなるべく簡単な形になるように)
とおくと、
，
，x：
のとき、s：
(置換積分を参照)
放物線Cをy軸方向に2倍拡大した放物線D：
A，Dの交点は、
と
を連立して、 放物線Dと放物線Aによって囲まれる図形(右図黄緑色着色部分)の面積
は、 
......[答]
∴ 
の周りに回転させる回転体ですが、x軸の周りに回転させるときと同様に考えて、回転軸に垂直な断面の円の面積を、回転軸に沿って積分することにより回転体の体積を求めます(斜回転体を参照)。
として、D上の点Q
を通り
に垂直な直線は、 
と連立して、交点Hのx座標を求めると、
において
より、回転体の体積Vは、
(回転軸に沿って積分するので、tではなく、OHについて積分する)
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，
を求め、さらに
を求めよ。
のとき、
，
より
......[答]
(3) 直線
に関して放物線Aと対称な放物線C：
(4) 
とD：
の交点は、
，OH：
のとき、t：
......[答]
，
)
のとき、
より、
